外心の作る三角形と内心の作る三角形

Bunryu Kamimura, 2016/06/27

もう何十年も前のことだ。 中学で数学を教えていた時、中一の渡辺圭介君が見つけた三角形がある。その三角形からできる三角形を調べてみようと思った。 その三角形とは、三角形の外心からできて、今度は内心となる三角形のこと。この三角形を「内心三角形」とする。 同様に、内心からそれを外心とする三角形ができる。これを「外心三角形」とする。 あれやこれや試行錯誤していて、ついに渡辺の三角形が元の三角形と相似になる点があることに気がついた。 気がついたら、渡辺君がこの三角形を発見してから３２年も経っていた。

目次

  1. 渡辺の三角形の性質
    1. 渡辺の定理（生徒が発見した定理）
    2. 渡辺の定理の証明とそこからわかること
    3. 渡辺の定理から　その２
    4. 渡辺の定理から　その３
    5. ９点円との関係
  2. 渡辺の三角形が相似になる中心は？
    1. 二つの３円の作る三角形
    2. ３円相似　内と外の比較
    3. 等角共役が相似

1.

渡辺の三角形の性質

渡辺くんの発見は折り曲げた線を延長して三角形を見出したこと。 そして、元の三角形の外心は、新しい三角形の内心となること。 その間の関係式を見出したこと。

  • 1. 渡辺の定理（生徒が発見した定理）
  • 2. 渡辺の定理の証明とそこからわかること
  • 3. 渡辺の定理から　その２
  • 4. 渡辺の定理から　その３
  • 5. ９点円との関係

1.1.

渡辺の定理（生徒が発見した定理）

各頂点を外心に折り曲げてできる折れ線が作る三角形は、外心が内心になる。[br]（EFはADの垂直二等分線）[br]Dは△ABCの外心であり、△EFGの内心である。[br]渡辺圭介君１３歳が発見
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

渡辺の三角形が相似になる中心は？

渡辺の三角形が元の三角形と相似になる中心がある。

  • 1. 二つの３円の作る三角形
  • 2. ３円相似　内と外の比較
  • 3. 等角共役が相似

2.1.

二つの３円の作る三角形

△ABCの垂足三角形が茶色の三角形。△ABCを中心の作る垂足三角形にする三角形がEFG（水色）。△ABCの垂心は内三円では内心になり、外三円では外心になる。垂心を変えてみよう。円周上や辺上に新しい点を作って三角形を作図してみよう。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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情報