[b]Фрагмент посібника [br][/b][br][b]Інноваційні інформаційно-комунікаційні технології навчання математики[/b]: навч. посіб. / В. В.[br]Корольський, Т. Г. Крамаренко, С. О. Семеріков, С. В. Шокалюк ; наук. ред. М. І. Жалдак. –[br]Вид. 2, перероб. і доп. – Кривий Ріг : Криворізький держ. пед. ун‑т, 2019.[br][br]___________________________________[br][br][br]Розглянемо, як використовуючи [i]GeoGebra[/i], обчислити точки екстремумів та екстремуми функцій. Якщо у рядку введення записати команди [i]Екстремум[/i]( <Поліном> ) чи [i]Екстремум[/i]( <Функція>,[br]<Початкове значення x>, <Кінцеве значення x> ), то після їх виконання у переліку об’єктів з’являться координати екстремумів, а на полотні побудови – їх зображення. Щоб при цьому був побудований графік, потрібно додатково виконати команду [i]Функція[/i]. [br][br]У результаті виконання команди [i]Екстремум[/i][x^3-x] отримаємо[br]пару точок: (-0,58; 0,38), (0,58; -0,38). Абсциси цих точок – наближені[br]значення точок екстремумів функції, а ординати – екстремуми функції. Щоб побудувати[br]графік, скористалися командою [i]Функція[/i][br]

Вивчаючи похідну, корисно провести за допомогою GeoGebra дослідження, які допоможуть глибше усвідомити сутність цього поняття, з’ясувати геометричний зміст похідної, «відкрити» теореми про необхідну умову існування локального екстремуму; достатню умову монотонності функції; висунути[br]гіпотези стосовно зв’язку, який існує між знаком другої похідної функції та[br]опуклістю графіків функції. [br][br]Побудувати в одній системі координат [i]графіки функції та її першої похідної; графіки функції та її другої похідної.[/i] [br][br]Відзначимо, що при дослідженні за допомогою GeoGebra можна обчислити похідну вказаного порядку для введеної функції ([i]Функції /[/i] [i]Похідна[/i]). При цьому буде автоматично побудовано графік похідної. [br][br]Розглянемо кубічний многочлен. Для дослідження за[br]допомогою GeoGebra вводять у рядку команд для кубічного многочлена вираз [i]a[/i][i]*X^[/i]3[i]+[/i][i]b[/i][i]*X^[/i]2[i]+[/i][i]c[/i][i]*X+[/i][i]d[/i].  Об’єкт буде автоматично позначено[br][i]f[/i]. Далі для обчислення першої[br]похідної вводимо вираз [i]Похідна(f)[/i],[br]для другої похідної - вираз [i]Похідна[[/i][i]f[/i][i],2[/i]], вказавши поряд з функцією порядок похідної для[br]обчислення. Доцільно на графіку функції обрати точку і через неї провести[br]вертикальну пряму до перетину з графіком похідної (рис. 2.54). Для виявлення зв’язку між[br]функцією та її другою похідною, доцільно побудувати дотичну до графіка функції[br]і відстежувати, як розташований графік функції по відношенню до графіка дотичної (рис. 2.55).[br][br][br]У ході лабораторної роботи в комп’ютерному класі чи[br]евристичної бесіди учні/студенти аналізують побудовані графіки, порівнюють проміжки[br]монотонності функції та проміжки знакосталості першої похідної, проміжки[br]опуклості графіків функцій та проміжки знакосталості другої похідної,[br]співставляють нулі похідної та точки екстремумів, нулі другої похідної та точки[br]перегину. Пропонуємо низку запитань і підводимо до формулювання необхідної та[br]достатньої умов існування екстремуму, до складання алгоритму дослідження на[br]монотонність та екстремуми, на опуклість графіків функцій та точки перегину[br]графіків.[br][br][br]Досліджуючи функцію на[br]монотонність та екстремуми, заповнюють таблицю, у якій фіксують проміжки[br]монотонності функції, точки екстремумів, екстремуми, проміжки знакосталості[br]похідної, критичні точки (стаціонарні точки і точки з області визначення, в[br]яких похідна не існує).[br][br][br]У процесі дослідження на опуклість графіків функцій заповнюють таблицю, в якій фіксують проміжки, на яких графік опуклий вгору, вниз, точки перегину, проміжки знакосталості другої похідної, нулі другої похідної.[br][br][br]Дослідникам слід надавати диференційовану допомогу. Щоб[br]простіше було аналізувати графічні образи, можна запропонувати підказки у[br]вигляді незакінчених речень. Наведемо приклади таких речень.[br][br][br]§ [br]Якщо [i]а[/i][br]– точка екстремуму, то похідна, якщо вона в цій точці існує, ...[br][br][br]§  Якщо диференційовна[br]функція зростає (спадає), то перша похідна ...[br][br][br]§  Критична точка буде[br]точкою максимуму (мінімуму), якщо ...[br][br][br]§  Диференційовна[br]функція зростає (спадає) тоді, коли похідна ...[br][br][br]§  Якщо а – точка перегину,[br]то друга похідна ...[br][br][br]§  Якщо графік двічі[br]диференційовної функції опуклий вгору (вниз), то друга похідна за умови, що[br]вона існує, буде ...[br][br][br]§  Точка а тоді буде[br]точкою перегину, якщо ...[br][br][br]§  Графік двічі[br]диференційовної функції тоді опуклий вгору (вниз), якщо друга похідна ...[br][br][br][br][br][br][br]