Assegnata la funzione [math]f\left(x\right)=a\cdot xln\left(x\right)-\frac{3}{2}x[/math] [br]Determinare il valore del parametro reale [math]a[/math] affinché [math]f[/math] abbia un punto di minimo assoluto in [math]x=\sqrt{e}[/math].[br]Si studi la funzione ottenuta e se ne disegni il grafico.

Il dominio di [math]f\left(x\right)[/math] è [math]D=\left(0,+\infty\right)[/math], e la funzione è continua e derivabile nel suo dominio.[br][math]f'\left(x\right)=a\cdot\left(ln\left(x\right)+1\right)-\frac{3}{2}[/math][br]Poiché [math]x=\sqrt{e}[/math] deve essere un punto di minimo di [math]f\left(x\right)[/math], la sua derivata si deve annullare in [math]x=\sqrt{e}[/math].[br]Ponendo [math]f'\left(\sqrt{e}\right)=0[/math] si ottiene [math]\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}=0\rightarrow a=1[/math][br][br][i][color=#3c78d8]Esplora il grafico della funzione assegnata muovendo lo slider[/color] [math]a[/math] [color=#3c78d8]e osserva che la soluzione ottenuta è valida per[/color] [math]a=1[/math].[/i]

Posto [math]a=1[/math] la funzione da studiare è [math]f\left(x\right)=xln\left(x\right)-\frac{3}{2}x[/math] in [math]D=\left(0,+\infty\right)[/math].[br][br][b]Segno[/b]: [math]f\left(x\right)\ge0\Longleftrightarrow x\left(ln\left(x\right)-\frac{3}{2}\right)\ge0[/math] . Poiché [math]x>0[/math] [math]\forall x\in D[/math], studiamo [math]ln\left(x\right)\ge\frac{3}{2}[/math] la cui soluzione è [math]x\ge e^{\frac{3}{2}}[/math].[br][br][b]Limiti[/b]: [math]\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}f(x) = 0}[/math] e [math]\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty}[/math] [br]È quindi soddisfatta la condizione necessaria per l'esistenza dell'asintoto obliquo, il cui coefficiente angolare - se esiste - è [math]\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} = +\infty}[/math]. [br]La funzione dunque non ammette asintoto obliquo.[br][br][b]Derivata prima[/b]: [math]f'\left(x\right)=ln\left(x\right)-\frac{1}{2}[/math][br][br][b]Segno della derivata prima[/b]: [math]f'\left(x\right)\ge0\Longleftrightarrow x\ge\sqrt{e}[/math]. La funzione è quindi decrescente per [math]x\in\left(0,\sqrt{e}\right)[/math], ha un minimo in [math]x=\sqrt{e}[/math] ed è crescente per [math]x\in\left(\sqrt{e},+\infty\right)[/math].[br][br][b]Derivata seconda[/b]: [math]f''\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math][br][br][b]Segno della derivata seconda[/b]: [math]f''\left(x\right)>0[/math] [math]\forall x\in D[/math][br]La derivata seconda è sempre positiva nel dominio, dunque il grafico della funzione ha sempre la concavità rivolta verso l'alto.[br][br][color=#3c78d8][i]Poni il valore dello slider[/i][/color] [math]a=1[/math] [color=#3c78d8][i]nell'app precedente per visualizzare il grafico di[/i][/color] [math]f\left(x\right)[/math].[br]

Si verifichi che esiste una sola retta tangente [math]t[/math] alla curva di equazione [math]y=f\left(x\right)[/math], condotta dal punto [math]Q\equiv\left(0,-1\right)[/math]. Determinare l'equazione di [math]t[/math] e le coordinate del corrispondente punto di tangenza.

L'equazione generale del fascio di rette passante per [math]Q\equiv\left(0,-1\right)[/math] è [math]y-y\left(Q\right)=m\left(x-x\left(Q\right)\right)[/math].[br]Sostituendo le coordinate di [math]Q[/math] nell'equazione generale, otteniamo che l'equazione di [math]t[/math] è della forma [math]y=mx-1[/math].[br][br]La retta del fascio è tangente al grafico della funzione in un punto comune ad entrambe, quindi dovrà essere[br][math]xln\left(x\right)-\frac{3}{2}x=mx-1[/math] (1)[br]e nel punto di tangenza la derivata della funzione (che rappresenta il coefficiente angolare della tangente) dovrà essere uguale al coefficiente angolare del fascio, e dunque[br][math]ln\left(x\right)-\frac{1}{2}=m[/math] (2)[br][br]Risolvendo il sistema costituito dalle condizioni (1) e (2) otteniamo [math]x=1[/math], che è l'ascissa del punto di tangenza. Sostituiamo tale valore nell'equazione della funzione, cioè calcoliamo [math]f\left(1\right)=1\cdot ln\left(1\right)-\frac{3}{2}\cdot1=-\frac{3}{2}[/math] per ottenere l'ordinata del punto di tangenza [math]T\equiv\left(1,-\frac{3}{2}\right)[/math].[br][br]Sostituiamo infine le coordinate di [math]T[/math] nel fascio di rette [math]y=mx-1[/math] per ottenere il valore di [math]m[/math] della retta tangente, che è [math]m=-\frac{1}{2}[/math].[br]L'equazione della retta tangente alla funzione condotta da [math]Q[/math] è quindi [math]y=-\frac{1}{2}x-1[/math].[br][br][color=#1155cc][i]Muovi lo slider[/i] [/color][math]m[/math] [i][color=#1155cc]nell'app che segue per esplorare il fascio di rette per[/color][/i] [math]Q[/math] [i][color=#1155cc]e visualizzare la soluzione.[/color][/i][br]

Determinare i parametri reali [math]h,k[/math] in modo che le curve di equazioni [math]y=f\left(x\right)[/math] e [math]y=\frac{x+h}{x+k}[/math] risultino tangenti nel loro punto comune di ascissa 1.

La soluzione di questa parte segue lo stesso procedimento della precedente.[br]Quindi dovremo trovare il punto comune alle due curve e imporre che in tale punto la tangente a entrambe le curve sia la stessa.[br]Dal punto precedente sappiamo che il punto di ascissa [math]x=1[/math] di [math]f\left(x\right)[/math] è [math]T\equiv\left(1,-\frac{3}{2}\right)[/math] e il testo suggerisce che tale punto è comune alle due curve, cosa che può essere verificata mediante sostituzione.[br][br]Assegno alla seconda curva il nome [math]om\left(x\right)=\frac{x+h}{x+k}[/math] perchè questa è una funzione omografica, il cui grafico è quello di una iperbole equilatera traslata, con asintoti [math]x=-k[/math] e [math]y=1[/math].[br][math]om\left(x\right)[/math] non è degenere nel suo asintoto orizzontale per [math]h\ne k[/math].[br][br][math]om'\left(x\right)=\frac{x+k-\left(x+h\right)}{\left(x+k\right)^2}=\frac{k-h}{\left(x+k\right)^2}[/math][br]Al punto (b) del problema abbiamo determinato la tangente a [math]f\left(x\right)[/math] in [math]x=1[/math], che ha equazione [math]y=-\frac{1}{2}x-1[/math]. Affinché la tangente sia la stessa per [math]om\left(x\right)[/math], dobbiamo imporre il passaggio di [math]om\left(x\right)[/math] per [math]T[/math]:[br][math]-\frac{3}{2}=\frac{1+h}{1+k}[/math] (1)[br]e l'uguaglianza delle derivate prime delle due funzioni in [math]x=1[/math], cioè [math]om'\left(1\right)=f'\left(1\right)[/math]:[br][math]\frac{k-h}{\left(1+k\right)^2}=-\frac{1}{2}[/math] (2)[br]Risolvendo il sistema di equazioni (1) e (2) otteniamo la soluzione accettabile [math]\left(h,k\right)=\left(\frac{13}{2},-6\right)[/math] e la soluzione non accettabile [math]\left(h,k\right)=\left(-1,-1\right)[/math]. Quest'ultima soluzione non è accettabile, in quanto per questa coppia di valori l'iperbole degenera nel suo asintoto orizzontale.[br][br]Sostituendo i valori di [math]h[/math] e [math]k[/math] nell'equazione di [math]om\left(x\right)[/math] otteniamo [math]om\left(x\right)=\frac{2x+13}{2x-12}[/math], iperbole equilatera di centro [math]\left(6,1\right)[/math] e asintoti [math]x=6[/math] e [math]y=1[/math], che puoi vedere nel grafico seguente.

Studiare la funzione [math]g(x)=\int_1^x f(t) dt[/math] dopo averne scritta l'espressione analitica.[br]Determinare l'equazione della retta tangente al grafico di [math]g[/math] nel suo punto di ascissa [math]x=e[/math].[br]

[math]g(x)=\int_1^x f(t) dt=\int_1^x\left(t\;\ln t-\frac{3}{2}t\right)\;dt[/math][br]Integrando per parti otteniamo [math]g(x)=\int_1^x\left(t\;\ln t-\frac{3}{2}t\right)\;dt=\left[\frac{1}{2}t^2 \ln t-t^2\right]_1^x=\frac{1}{2}x^2 \ln x-x^2+1[/math].[br][br][b]Dominio[/b]: [math]\left(0,+\infty\right)[/math][br][br][b]Limiti[/b]: [math]\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}g(x) = 1}[/math] e [math]\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty}[/math] [br][br][b]Derivata prima[/b]: [math]g'\left(x\right)=f\left(x\right)[/math] [br][b]Segno della derivata prima[/b]: è il segno di [math]f\left(x\right)[/math], quindi [math]g\left(x\right)[/math] è decrescente per [math]x\in\left(0,e^{\frac{3}{2}}\right)[/math], ha un punto di minimo assoluto in [math]x=e^{\frac{3}{2}}[/math] e poi cresce.[br][br][b]Derivata seconda[/b]: [math]g''\left(x\right)=f'\left(x\right)[/math][br][b]Segno della derivata seconda[/b]: è il segno di [math]f'\left(x\right)[/math], quindi [math]g\left(x\right)[/math] ha la concavità rivolta verso il basso per [math]x\in\left(0,\sqrt{e}\right)[/math], ha un punto di flesso a tangente obliqua in [math]x=\sqrt{e}[/math] e ha la concavità rivolta verso l'alto altrove.[br][br][b]Determinazione della tangente a[/b] [math]g\left(x\right)[/math] [b]in[/b] [math]x=e[/math][br]Il punto di tangenza ha coordinate [math]\left(e,g\left(e\right)\right)[/math], con [math]g\left(e\right)=\frac{1}{2}e^2-e^2+1=1-\frac{1}{2}e^2[/math].[br]Il coefficiente angolare della tangente è [math]m=g'\left(e\right)=f\left(e\right)=e\ln e-\frac{3}{2}e=-\frac{1}{2}e[/math][br]Quindi l'equazione della retta tangente è [math]y-g\left(e\right)=m\left(x-e\right)[/math].[br]Sostituendo i valori ottenuti in precedenza, ed esplicitando l'equazione si ha [math]y=-\frac{1}{2}ex+1[/math].[br][br][i][color=#1155cc]Nell'app di seguito, sono visualizzati i grafici di[/color][/i] [math]f\left(x\right)[/math] [color=#1155cc][i]e della funzione integrale[/i][/color] [math]g\left(x\right)[/math]. [i][color=#1155cc]Muovi il punto[/color][/i] [math]x[/math] [i][color=#1155cc]sull'asse delle ascisse per visualizzare geometricamente l'integrale, e la costruzione punto per punto della funzione integrale[/color][/i] [math]g\left(x\right)[/math]: [i][color=#1155cc]la traccia visualizzata è l'unione dei punti di coordinate[/color][/i] [math]\left(x,\int_1^x f(t) dt\right)[/math].[br]