In diesem Abschnitt können Sie sich zwei Simulationen anschauen.[br]In der ersten Simulation wird das schwingen eines Pendel mithilfe der Bewegungsgleichung der harmonischen Schwingung simuliert. Dabei verwendet man, dass bei kleinen Winkeln (im Bogenmaß) der Sinus des Winkels mit dem Winkel übereinstimmt. Das bedeutet, dass die erste Simulation nur für kleine Auslenkungen einigermaßen richtige Vorhersagen trifft.[br]In der zweiten Simulation wird das schwingen eines Pendel numerisch bestimmt (Runge-Kutta-Verfahren). Hier werden die Bewegungsgleichungen des Pendel numerisch gelöst, weil man keine Bewegungsgleichung als Funktion mehr angeben kann. Zum Vergleich wird auch der Graf der harmonischen Schwingung angezeigt (blau gestrichelt). Man erkennt, dass für kleine Auslenkungen beide Simulationen nahezu übereinstimmen. Bei großen Auslenkungen ist die harmonische Schwingung als Beschreibung vollkommen ungeeignet.

Auf die Masse am Ende des Pendels wirkt die Gewichtskraft [math]F_G[/math].[br][math]F_G=m\cdot g[/math][br]Die Gewichtskraft kann man in zwei Komponenten aufteilen.[br]Die eine Komponente [math]F_{\parallel}[/math] ist parallel zur Pendelstange und wird durch die Gegenkraft der Pendelstange aufgehoben.[br]Nur die zur Stange senkrechte Komponente [math]F_{\perp}[/math] der Kraft hat Einfluss auf die Bewegung des Pendels.[br]Es gilt[br][math]F_{\perp}=F_G*sin(\alpha)[/math][br]Das Drehmoment ist das Produkt aus Hebellänge [math]l[/math] und der Kraft[br][math]M=-l\cdot F_{\perp}[/math][br]Die Grundgleichung der Mechanik für Drehungen lautet[br][math]M=I\cdot\alpha''[/math][br]Dabei ist I das Trägheitsmoment.[br]Das Trägheitsmoment eines Massenpunktes, der mit dem Radius r um einen Mittelpunkt kreist, ist[br][math]I=m\cdot r^2[/math][br]Im Fall des Pendels ist [math]r=l[/math][br][math]M=m\cdot l^2\cdot\alpha''=-l\cdot F_{\perp}[/math][br][math]m\cdot l^2\cdot\alpha''=-l\cdot sin(\alpha)\cdot m\cdot g[/math][br][math]\alpha''=-\frac{g}{l}sin\left(\alpha\right)[/math][br]Das ist die Differentialgleichung für die Pendelschwingung.[br]Wenn man[math]\alpha\approx sin\left(\alpha\right)[/math] verwendet (Kleinwinkelnäherung), dann bekommt man eine harmonische Schwingung mit der Frequenz[br][math]f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}[/math]