[b][size=150][b][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/b][br]＜積の微分から部分積分へ＞[/size][/b][br]小文字が導関数。逆微分をインテグラルの頭文字アイでかくとl(f)=F,l(g)=G。[br]微分公式(FG)'=fG+Fgを変形する。Fg=(FG)'-fG[br]両方の辺を積分して、∫([color=#0000ff]F[/color][color=#ff0000][b]g[/b][/color])=F[color=#ff0000][b]G[/b][/color]-∫([color=#0000ff]f[/color][color=#ff0000][b]G[/b][/color])を[color=#0000ff][b][size=150]部分積分[Integrating by parts ][/size][/b][/color]公式という。[br]次の３ステップでやってみよう。（積分定数Cは省略）[br]（式の見方）FとGはもともと対等な式なので、[u]Fが微分用で、多項式になるものがよい。[/u][br]（手順１）　[b][u]gを積分[/u][/b]して[b]FGとかく[/b]。[br]（手順２）　それから、[u]その[color=#ff0000]F部分だけ微分[/color]した[b]fGの積分[/b][/u]をひく。[br][b][size=150]fを積分、Gを微分すると∫[color=#ff0000]f[/color]G=FG- ∫F[color=#ff0000]g[br][/color]Fを微分、gを積分すると∫F[color=#ff0000]g[/color]=FG-∫[color=#ff0000]f[/color]G。[/size][/b]

[size=150][b]＜logxがあれば、これを微分用に＞[br] logxを微分して１/xとすると、積が代数式なら、積分関数もカンタンになりやすい。[br][/b][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]「不定積分∫ logx dx」は？[br]　(F,g)=(logx , 1)⇒　(f,G)=(1/x,x)⇒　fG=1は積分がカンタン。[br] FG-∫(fG)dx=(logx)(x)-∫1dx=x logx- x+C[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「不定積分∫ x logx dx」は？[br]　(F,g)=(logx , x)⇒　(f,G)=(1/x,1/2x[sup]2[/sup])⇒　fG=1/2xは積分がカンタン。[br] FG-∫(fG)dx=(log)(1/2x[sup]2[/sup])-∫(1/2x)dx=logx/2・x[sup]2[/sup]-1/4x[sup]2[/sup]+C[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「不定積分∫ √x logx dx」は？[br]　(F,g)=(logx,x[sup]1/2[/sup])⇒　(f,G)=(1/x,3/2x[sup]3/2[/sup])⇒　fG=3/2x[sup]1/2[/sup]は積分がカンタン。[br]　FG-∫(fG)dx=(logx)(3/2x[sup]3/2[/sup][sup][/sup])-∫(3/2x[sup]1/2[/sup][sup][/sup][sup][/sup])dx=logx・3/2x[sup]3/2[/sup]-3/2・3/2x[sup]3/2[/sup]＋C=3/2√x[sup]3[/sup] (lnx-3/2)+C[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]　「不定積分∫((4x+1)logx)dx]は？[br] (F,g)=(logx,4x+1)⇒　(f,G)=(1/x,2x[sup]2[/sup]+x)⇒　fG=2x+1は積分がカンタン。[br] ∫(Fg)=(lnx)(2x[sup]2[/sup]+x[sup][/sup])-∫(2x+1)dx=(logx)(2x[sup]2[/sup]+x[sup][/sup])-x[sup]2[/sup]-x+C[br][br][/size][b]＜[b]logxがないなら、[/b]代数式を微分用[/b][b]に＞[br][/b][color=#0000ff]積分したあとにさらに積が残れば、部分積分を追加実行してみよう。[br][/color][/size][color=#0000ff]（例）[br][/color]「不定積分∫ x sinx dx」は？[br] (F,g)=(x,sinx)⇒　(f,G)=(1,-cosx)⇒　fG=-cosxは積分がカンタン。[br]　FG-∫(fG)dx=x(-cosx)-∫(-cosx)dx=-x cosx+sinx+C[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「不定積分∫ x cosx dx」は？[br]　(F,g)=(x,cosx)⇒　(f,G)=(1,sinx)⇒　fG=sinxは積分がカンタン。[br]　FG-∫(fG)dx=x(sinx)-∫(sinx)dx=xsinx+cosx+C[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「不定積分∫((x)e[sup]x[/sup])dx」は?[br]　(F,g)=(x,e[sup]x[/sup])⇒　(f,G)=(1,e[sup]x[/sup])⇒　fG=e[sup]x[/sup]は積分がカンタン。[br]　FG-∫(fG)=(x)(e[sup]x[/sup])-∫(1・e[sup]x[/sup])=xe[sup]x[/sup]-e[sup]x[/sup]+C[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「不定積分∫((x[sup]2[/sup])e[sup]x[/sup])dx」は?[br]　(F,g)=(x[sup]2[/sup],e[sup]x[/sup])⇒　(f,G)=(2x,e[sup]x[/sup])⇒　fG・1/2=x･e[sup]x[/sup]は、積分が上の例で実行済み。[br]　FG-∫(fG)=(x[sup]2[/sup])(e[sup]x[/sup])-∫(2x・e[sup]x[/sup])=x[sup]2[/sup]e[sup]x[/sup]-2(xe[sup]x[/sup]-e[sup]x[/sup]+C)＝e[sup]x[/sup]2((xe[sup]x[/sup]-e[sup]x[/sup]+C)[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「不定積分∫ x[sup]2[/sup] sinx dx」は？[br] (F,g)=(x[sup]2[/sup],sinx)⇒　(f,G)=(x,-cosx)⇒　fG・(-1/2)=x cosxは、積分が上の例で実行済み。[br]　∫(Fg)dx=FG-∫(fG)dx=x[sup]2[/sup](-cosx)-∫2x(-cosx)dx=x[sup]2[/sup](-cosx)+2∫xcosxdx=-x[sup]2[/sup](cosx)+2(xsinx+cosx)+D[br] =2xsinx+(2-x[sup]2[/sup])cosx+D

[b]＜指数関数×三角関数は、部分積分を２回してからまとめる＞[br]e[sup]x[/sup]が微分用で、三角関数が積分用。[br][/b][color=#0000ff]（例）[br][/color]「不定積分 ∫ e[sup]x[/sup] sinx dx」は?[br]　変数は置換しないので、[br]　ここでは、積分変数を略して　I（関数）＝原始関数のようにかくことにする。[br] P=I(e[sup]x[/sup]sinx)、Q=I(e[sup]x[/sup]cosx)とペアになるものをおく。[br] F=f=e[sup]x[/sup]を使う。[br]　I(sinx)=-cosx、l(cosx)=sinxこれが積分したあとの関数Gとなる。[br]　P=l(e[sup]x[/sup]sinx)=e[sup]x[/sup](-cosx)-I(e[sup]x[/sup](-cosx))=-e[sup]x[/sup]cosx+Q[br]　Q=l(e[sup]x[/sup]cosx)=e[sup]x[/sup](sinx)-I(e[sup]x[/sup](sinx))=e[sup]x[/sup]sinx-P[br] まとめるとP=-e[sup]x[/sup]cosx+(e[sup]x[/sup]sinx-P)=e[sup]x[/sup](sinx-cosx)-P[br]　だから、不定積分P=e[sup]x[/sup](sinx-cosx)/2[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「不定積分 ∫ e[sup]-x[/sup] sinx dx」は?[br]　P=I(e[sup]-x[/sup]sinx)、Q=I(e[sup]-x[/sup]cosx)とペアになるものをおく。[br]　微分用F=e[sup]-x[/sup],微分後f=-e[sup]-x[/sup]を使う。[br]　I(sinx)=-cosx、l(cosx)=sinxこれが積分したあとの関数Gとなる。[br]　P=l(e[sup]-x[/sup]sinx)=e[sup]-x[/sup](-cosx)-I(-e[sup]-x[/sup](-cosx))=-e[sup]-x[/sup]cosx -Q[br]　Q=l(e[sup]-x[/sup]cosx)=e[sup]-x[/sup](sinx)-I(-e[sup]-x[/sup](sinx))=e[sup]-x[/sup]sinx+P[br] まとめるとP=-e[sup]-x[/sup]cosx-(e[sup]-x[/sup]sinx+P)=-e[sup]-x[/sup](sinx+cosx)-P[br]　だから、不定積分P=-e[sup]-x[/sup](sinx+cosx)/2[br][color=#0000ff]（一般化しよう）[br][/color]「不定積分 [color=#0000ff][b][size=150]P=∫ e[sup]ax[/sup] sinbx dx, Q=∫ e[sup]ax[/sup] cosbx dx[/size][/b][/color]」は?[br]　微分用F=e[sup]ax[/sup],微分後f=ae[sup]ax[/sup]を使う。[br] 置換積分によって、[br]　I(sinbx)=-1/bcosbx、l(cosbx)=1/bsinbx これが積分したあとの関数Gとなる。[br]　P=l(e[sup]ax[/sup]sinbx)=e[sup]ax[/sup](-1/bcosbx)-I(ae[sup]ax[/sup](-1/bcosbx))=-1/b・e[sup]ax[/sup]cosbx +a/b・Q[br]　Q=l(e[sup]ax[/sup]cosbx)=e[sup]ax[/sup](1/bsinbx)-I(ae[sup]ax[/sup](1/bsinbx))=1/b・e[sup]ax[/sup]sinbx - a/b・P[br] まとめると[br] P=-1/b・e[sup]ax[/sup]cosbx+a/b(1/b・e[sup]ax[/sup]sinbx-a/b・P)=1/b[sup]2[/sup]・e[sup]ax[/sup](asinbx-bcosbx)-a[sup]2[/sup]/b[sup]2[/sup]P[br]　だから、[color=#0000ff][b]不定積分P=e[sup]ax[/sup](a sinbx- b cosbx)/(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup])+C[br][/b][/color] Q=-1/b・e[sup]ax[/sup]sinbx- a/b(-1/b・e[sup]ax[/sup]cosbx+a/b・Q)=1/b[sup]2[/sup]・e[sup]ax[/sup](asinbx+bcosbx)-a[sup]2[/sup]/b[sup]2[/sup]Q[br] だから、[color=#0000ff][b]不定積分Q=e[sup]ax[/sup](a sinbx+b cosbx)/(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup])+C[/b][/color]

sin[sup]n[/sup]x,cos[sup]n[/sup]xの不定積分はどうなるだろうか？[br]とりあえず[br]In=Integral(sin[sup]n[/sup]x, x)（ｎが非負の整数）という関数列を考えてみよう。[br]そのために、[br]I(n)=∫[color=#1e84cc]sin[sup]n[/sup]x[/color] dx[br]IC(n)=∫ [color=#0000ff]sin[sup]n[/sup]xcosx[/color] dx[br]ICC(n)=∫[color=#980000]cosx[/color]・[color=#0000ff]sin[sup]n[/sup]xcosx[/color] dx[br]とおき、その関係をさぐってみよう。[br][size=150][br][b]＜実験＞[br][/b][/size]・[b]I(2)[/b]=∫sin[sup]2[/sup]x dx = ∫sin[sup]2[/sup]x dx=1/2 ∫ (1-cos2x)dx=1/2(x-1/2sin2x)[br][b]・I(4)[/b]=∫sin[sup]4[/sup]x dx = ∫sin[sup]2[/sup]x sin[sup]2[/sup]x dx= ∫sin[sup]2[/sup]x(1- cos[sup]2[/sup]x)dx= ∫sin[sup]2[/sup]x dx- ∫cosx・ sin[sup]2[/sup]xcosx dx[br] [b]=I(2)- ICC(2)[br]　置換積分[/b]しよう。sinx=tとおくと、dt/dx dx= cosx dx = dtだから、[br][b]　　IC(2)[/b]=∫ [color=#0000ff]sin[sup]2[/sup]xcosx[/color] dx= ∫t[sup]2[/sup] dt=1/3 t[sup]3[/sup]=[color=#ff0000]1/3 sin[sup]3[/sup]x[/color]+C[br][b]　部分積分[/b]しよう。(F,g)=([color=#980000]cosx[/color], IC(2)[color=#0000ff] )とおくと、(f,G)=(-sinx, [/color][color=#0000ff]1/3 sin[/color][sup]3[/sup][color=#0000ff]x)[/color]だから、[br][b]　　ICC(2)[/b]=∫ Fg dx= FG- ∫fG=cosx・1/3 sin[sup]3[/sup]x- ∫-sinx・1/3 sin[sup]3[/sup]x dx =1/3 cosx・sin[sup]3[/sup]x+1/3 ∫sin[sup]4[/sup]x dx[br]　　　＝1/3 cosx・sin[sup]3[/sup]x＋1/3[b]I(4)[/b][br] まとめてみる。[b]I(4)＝I(2)[/b]-1/3 cosx・sin[sup]3[/sup]x-[b]1/3I(4)だから、[/b] [b]I(4)[/b](1+1/3)=[b]I(2)[/b]-1/3 cosx・sin[sup]3[/sup]x　[br][b] I(4)[/b]=1/4(3・[b]I(2)[/b]- cosx・sin[sup]3[/sup]x)[br][b]・I(6)[/b]=∫sin[sup]6[/sup]x dx = ∫sin[sup]4[/sup]x sin[sup]2[/sup]x dx= ∫sin[sup]4[/sup]x(1- cos[sup]2[/sup]x)dx= ∫sin[sup]4[/sup]x dx - ∫cosx・ sin[sup]4[/sup]xcosx dx[br] [b]=I(4)- ICC(4)[br]　置換積分[/b]しよう。sinx=tとおくと、dt/dx dx= cosx dx = dtだから、[br][b]　　IC(4)[/b]=∫ [color=#0000ff]sin[sup]4[/sup]xcosx[/color] dx= ∫t[sup]4[/sup] dt=1/5 t[sup]5[/sup]=[color=#ff0000]1/5 sin[sup]5[/sup]x[/color]+C[br][b]　部分積分[/b]しよう。(F,g)=([color=#980000]cosx[/color], IC(4)[color=#0000ff] )とおくと、(f,G)=(-sinx, [/color][color=#0000ff]1/5 sin[/color][sup]5[/sup][color=#0000ff]x)[/color]だから、[br][b]　　ICC(4)[/b]=∫ Fg dx= FG- ∫fG=cosx・1/5 sin[sup]5[/sup]x- ∫-sinx・1/5 sin[sup]5[/sup]x dx =1/5 cosx・sin[sup]5[/sup]x+1/5 ∫sin[sup]6[/sup]x dx[br]　　　＝1/5 cosx・sin[sup]5[/sup]x＋1/5[b]I(6)[/b][br] まとめてみる。[b]I(6)＝I(4)[/b]-1/5 cosx・sin[sup]5[/sup]x-[b]1/5I(6)[/b] だから、 [b]I(6)[/b](1+1/5)=[b]I(4)[/b]-1/5 cosx・sin[sup]5[/sup]x　[br][b] I(6)[/b]=1/6(5・[b]I(4)[/b]- cosx・sin[sup]5[/sup]x)[br][br][b][size=150]＜一般化しよう＞[br][/size][/b][b]・I(n)[/b]=∫sin[sup]n[/sup]x dx = ∫sin[sup]n-2[/sup]x sin[sup]2[/sup]x dx= ∫sin[sup]n-2[/sup]x(1- cos[sup]2[/sup]x)dx= ∫sin[sup]n-2[/sup]x dx - ∫cosx・ sin[sup]n-2[/sup]xcosx dx[br] [b]=I(n-2)- ICC(n-2)[br]　置換積分[/b]しよう。sinx=tとおくと、dt/dx dx= cosx dx = dtだから、[br][b]　　IC(n-2)[/b]=∫ [color=#0000ff]sin[sup]n-2[/sup]xcosx[/color] dx= ∫t[sup]n-2[/sup] dt=1/(n-1) t[sup]n-1[/sup]=[color=#ff0000]1/(n-1) sin[sup]n-1[/sup]x[/color]+C[br][b]　部分積分[/b]しよう。(F,g)=([color=#980000]cosx[/color], IC(n-2)[color=#0000ff] )とおくと、(f,G)=(-sinx, [/color][color=#0000ff]1/(n-1) sin[/color][sup]n-1[/sup][color=#0000ff]x)[/color]だから、[br][b]　　ICC(n-2)[/b]=∫ Fg dx= FG- ∫fG=cosx・1/(n-1) sin[sup]n-1[/sup]x- ∫-sinx・1/(n-1) sin[sup]n-1[/sup]x dx [br] =1/(n-1) cosx・sin[sup]n-1[/sup]x+1/(n-1) ∫sin[sup]n[/sup]x dx[br]　　　＝1/(n-1) cosx・sin[sup]n-1[/sup]x＋1/(n-1)[b]I(n)[/b][br] まとめてみる。[b]I(n)＝I(n-2)[/b]-1/(n-1) cosx・sin[sup]n-1[/sup]x-[b]1/(n-1)I(n)[/b] だから、[br] [b]I(n)[/b](1+1/(n-1))=[b]I(n-2)[/b]-1/(n-1) cosx・sin[sup]n-1[/sup]x　[br][b] I(n)[/b]=1/n((n-1)・[b]I(n-2)[/b]- cosx・sin[sup]n-1[/sup]x)[br][br][size=150]結論[math]I_n=\frac{1}{n}((n-1)・I_{n-2}-cosx・sin^{n-1}x)[/math][br][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「cos[sup]4[/sup]xの不定積分」は？[br][math]\int cos^4xdx=\frac{1}{4}\int\left(1+cos2x\right)^2dx=\frac{1}{4}\int1dx+\frac{1}{2}\int cos2xdx+\frac{1}{4}\int cos^22xdx[/math][br][math]=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{8}\int\left(1+cos4x\right)dx=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{8}x+\frac{1}{32}sin4x=\frac{1}{32}sin4x+\frac{1}{4}sin2x+\frac{3}{8}x+C[/math][br][br]「cos[sup]3[/sup]xの不定積分」は？[br][math]cos3x=4cos^3x-3cosx[/math]から[br][math]\int cos^3xdx=\frac{1}{4}\int\left(cos3x+3cosx\right)dx=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}sin3x+3sinx\right)=\frac{1}{12}sin3x+\frac{3}{4}sinx+C[/math][/size]

[b][size=150]部分積分公式∫fG=FG- ∫Fg[/size][/b]を定積分に使うとき、[math]\int_a^b\left(fG\right)dx=\left[FG\right]^b_a-\int_a^b\left(Fg\right)dx[/math][br]のように、積分記号のない関数積FGについても、定積分のように、FG(b)-FG(a)を求めよう。[br]FGの選び方の確認。[br]FGの役割は対等だ。積関数の片方を積分したら、他方は積分記号の中で微分しよう。[br]たとえば、[br][color=#0000ff][b]微分用はlogxで、logxがなければ代数式で。１も代数式。[br][/b][/color]（例）[br]f,G=(1, logx)⇒F,g=(x, 1/x)⇒[b]Fg＝1[/b]でカンタン。[br][math]\int_1^e\left(logx\right)dx=\int_1^e\left(1\cdot logx\right)dx=\left[xlogx\right]^e_1-\int_1^e1dx=e-0-\left[x\right]_1^e=e-\left(e-1\right)=1[/math][br]f,G=(x, logx)⇒F,g=(1/2x[sup]2[/sup],1/x)⇒[b]Fg=1/2x[/b]でカンタン。[br][math]\int_1^e\left(xlogx\right)dx=\left[\frac{1}{2}x^2logx\right]^e_1-\int_1^e\left(\frac{1}{2}x\right)dx=\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x^2\right]^e_1=\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}[/math][br]f,G=(sinx, x)⇒F,g=(-cosx, 1)⇒[b]Fg＝-cosx[/b]でカンタン。[br][math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(xsinx\right)dx=\left[x\left(-cosx\right)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-cosx\right)dx=-\left(0-0\right)+\left[sinx\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=1[/math][br]f,G=(sinx, 1)⇒F,g=(-cosx, 0)⇒[b]Fg＝0[/b]でカンタン。[br][math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(sinx\right)dx=\left[1\left(-cosx\right)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(0\right)dx=-\left(0-1\right)-0=1[/math][br][color=#0000ff](例）[/color]上記の３で、[br][b][size=150][color=#0000ff]∫ e[sup]ax[/sup] sinbx dx=[b]e[sup]ax[/sup](a sinbx- b cosbx)/(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup])+C、[br][/b][/color][/size][/b][b][size=150]∫ e[sup]-x[/sup] sinx dx=[b]e[sup]-x[/sup](- sinx- cosx)/2+Cから、[/b][/size][/b][br][math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-x}\left(sinx\right)dx=\frac{1}{2}\left[e^{-x}\left(-sinx-cosx\right)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left(e^{-\frac{\pi}{2}}\left(-1-0\right)\right)-\frac{1}{2}\left(e^{-0}\left(-0-1\right)\right)=\frac{1}{2}\left(-e^{-\frac{\pi}{2}}+1\right)[/math][br][color=#0000ff](例）[/color]上記の４で、[br][size=150][b]・I[sub]n[/sub][/b][b]=∫sin[/b][sup]n[/sup][b]x dx　とすると、[/b][size=150][color=#0000ff][b]I[sub]n[/sub][/b]=1/n((n-1)・[b]I[sub]n-2 [/sub][/b]- cosx・sin[sup]n-1[/sup]x[/color][/size]特にf(x)=cosx・sin[sup]n-1[/sup]xとするとき、f(π/2)-f(0)=0-0=0だから、[br][size=150][b]Inの積分区間を[0,π/2]にすると、[color=#0000ff]I[sub]n[/sub]＝(n-1)/n ・I[/color][sub][color=#0000ff]n-2[/color][br][br][/sub][/b][/size][b][sub][/sub][/b][math]I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(sin^2x\right)dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1-cos2x\right)dx=\frac{1}{2}\left[x-\frac{1}{2}sin2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left[x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{4}\left[cos2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-0\right)-0=\frac{\pi}{4}[/math][b][br][math]I_4=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(sin^4x\right)dx=I2\cdot\frac{4-1}{4}=\pi/4\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{16}\pi、I_6=I_4\cdot\frac{5}{6}＝\frac{3}{16}\pi\cdot\frac{5}{6}=\frac{15}{96}\pi[/math][br][/b][/size]（一般化しよう）[br]積分区間を[b][0,π/2]にすると、[b]I[sub]n[/sub][/b][b]=∫sin[/b][sup]n[/sup][b]x dxとするとき、ｌ2=π/4、[/b][color=#0000ff]I[sub]n[/sub]＝(n-1)/n ・I[/color][sub][color=#0000ff]n-2[/color][br][/sub][/b]から、I[sub]2[/sub]=π/2・1/2、I[sub]4[/sub]=π/2・1/2・3/4、I[sub]6[/sub]=π/2・1/2・3/4・5/6、I[sub]8[/sub]=π/2・1/2・3/4・5/6・7/8、....[br][size=150][b][color=#0000ff]だから、nが偶数ならば、[b][b]∫sin[/b][sup]n[/sup][b]x dx[/b][/b][sub][/sub]=π/2・[/color][/b][math]\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\frac{n-5}{n-4}\cdot........\cdot\frac{1}{2}[/math][/size][b][sub][color=#0000ff][br][/color][/sub][/b]