Sei [math]x_0\in\mathbb{R}[/math] beliebig. Für den Differentialquotienten der[br]Sinusfunktion an der Stelle [math]lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math] gilt:[br][br]Wendet man das Additionstheorem der Sinusfunktion an, folgt[br][math]=lim_{h\rightarrow0}\frac{sin\left(x_0\right)\cdot cos\left(h\right)+sin\left(h\right)\cdot cos\left(x_0\right)-sin\left(x_0\right)}{h}[/math][br]Wer die Kosinusfunktion kennt, weiß dass [math]lim_{h\rightarrow0}cos\left(h\right)=1[/math], also gilt[br][math]=lim_{h\rightarrow0}\frac{sin\left(x_0\right)+sin\left(h\right)\cdot cos\left(x_0\right)-sin\left(x_0\right)}{h}[/math][br][math]=lim_{h\rightarrow0}\frac{sin\left(h\right)\cdot cos\left(x_0\right)}{h}[/math][br][br]Da [math]cos\left(x_0\right)[/math] nicht von h abhängt, kann man es nach vorne[br]ziehen, deshalb folgt:[br][math]=cos\left(x_0\right)\cdot lim_{h\rightarrow0}\frac{sin\left(h\right)}{h}[/math][br][br]Nun zeigt man, dass [math]lim_{h\rightarrow0}\frac{sin\left(h\right)}{h}=1[/math] mit der in der Aktivität gezeigten Abschätzung:[br]

Die Aktivität zeigt einen Kreissektor (blau) im Einheitskreis, für dessen Fläche [math]A_{KS}[/math] offensichtlich gilt, dass sie größer als das durch den Ursprung, [math]sin\left(h\right)[/math] und [math]B[/math] bestimmte Dreieck [math]S[/math] und kleiner als das durch den Ursprung, [math]tan\left(h\right)[/math] und [math]C[/math] bestimmte Dreieck [math]T[/math]. Bewegt man den Schieberegler a nach rechts, werden h und [math]sin\left(h\right)[/math] immer kleiner. Der Wert des Verhältnisses [math]\frac{sin\left(h\right)}{h}[/math] wird rechts angezeigt (Q). Nach Einsetzen der Flächenformeln gilt also:[br][math]\frac{1}{2}\cdot cos\left(h\right)\cdot sin\left(h\right)<1^2\pi\cdot\frac{h}{2\pi}<\frac{1}{2}\cdot1\cdot tan\left(h\right)[/math][br][math]\frac{1}{2}\cdot cos\left(h\right)\cdot sin\left(h\right)<\frac{1}{2}\cdot h<\frac{1}{2}\cdot\frac{sin\left(h\right)}{cos\left(h\right)}[/math][br]Da [math]sin\left(h\right)>0[/math], kann man kürzen:[br][math]cos\left(h\right)<\frac{h}{sin\left(h\right)}<\frac{1}{cos\left(h\right)}[/math][br]Nimmt man nun die Kehrbrüche, ergibt sich:[br][math]\frac{1}{cos\left(h\right)}>\frac{sin\left(h\right)}{h}>cos\left(h\right)[/math][br]Da [math]lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{cos\left(h\right)}=lim_{h\rightarrow0}cos\left(h\right)=1[/math], muss auch [math]lim_{h\rightarrow0}\frac{sin\left(h\right)}{h}=1[/math]gelten.[br]Insgesamt folgt also:[br][math]cos\left(x_0\right)\cdot lim_{h\rightarrow0}\frac{sin\left(h\right)}{h}=cos\left(x_0\right)\cdot1=cos\left(x_0\right)[/math][br]Da [math]x_0[/math] frei gewählt war, ergibt sich [math]sin'\left(x\right)=cos\left(x\right)[/math] für alle [math]x\in\mathbb{R}[/math].