Egy elemi geometriai feladat megoldásához e sorok írójának fel kellett használnia a [url=https://www.geogebra.org/m/aK3ZyfeQ]Napóleon háromszögek[/url] néven (köz)ismert elemi geometriai összefüggést. (Lehet, hogy Napóleonnak nem sok köze volt ehhez a témához, legfeljebb a háromszög alakú kalapjának.)[br]A GeoGebra világméretű faliújságján szétnézve [url=https://www.geogebra.org/m/Jp4mt82f]számos[/url] [url=https://www.geogebra.org/m/RvvXrGwG]animációt[/url] [url=https://www.geogebra.org/m/GPB5qB65]lehet[/url] [url=https://www.geogebra.org/m/GKWuzQ2w]találni [/url]erre a témára. A matematikai irodalomban is számos - [url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon.shtml]többnyire analitikus geometriai[/url] - bizonyítás fellelhető, de ...[br][br]Egy geometriai feladat megoldása csak akkor tekinthető eleminek, ha a felhasznált összefüggések is elemiek. Most tekintsük eleminek azokat a geometriai ismereteket, amelyek nem haladják meg a - középszintű - középiskolai matematikai ismeretanyagot. Az alábbiakban erre fogunk szorítkozni.

Legyen [i]A, B, C [/i]a sík három tetszőleges pontja, és legyen A[i]BDΔ, BCEΔ [/i]és [i]CAFΔ[/i] három egymással azonos körüljárású szabályos háromszög! Ezek középpontjai legyenek rendre [i]P, Q [/i]és[i] R[/i]! Milyen kapcsolat van a [i]P, Q, R [/i]pontok között? (A GeoGebra lehetőségeit nem ismerve korábban inkább ez a felszólító mondat szerepelt a feladat végén: [i]Igazoljuk, hogy a PQRΔ szabályos![/i]

Az alábbi appletben lépésenként fogjuk részletezni e sejtésünkhöz szükséges geometriai konstrukció előállítását, a sejtést és a bizonyítást. Ezek a lépések a ◀ és ▶ gombokkal követhetők nyomon.[br][br][list=1][*]Bár az A, B, C pontokra semmilyen kikötést nem tettünk, itt beállítható, hogy ugyanaz a háromszög pozitív. vagy negatív körüljárású legyen, a három pont essen egy egyenesre, vagy közülük kettő essen egybe.[/*][*]A Napóleon tétel áttekinthetőségét befolyásolja, hogy az [i]ABCΔ [/i] oldalaira emelt szabályos háromszögek ABC[i]Δ[/i] -el azonos, vagy ellentétes körüljárásúak-e. Eszerint meg lehetne különböztetni a "külső" és "belső" szabályos háromszögek esetét. De ezt itt nem tesszük. Elegendő megfigyelnünk, hogy az 1 lépésben beállítható speciális esetekre minden további lépés ugyanúgy érvényes. De az A, B, C pontokat dinamikusan kezelve ezek az esetek enélkül is előállíthatók. [/*][*]A szabályos háromszögeket legegyszerűbben a [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_regularpolygon.png[/icon] ikonnal, ezek középpontjait a [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_midpoint.png[/icon]ikonnal vehetjük fel. [/*][*]A sejtést megerősíthetnénk pl. a PQR[i]Δ [/i]oldalai, vagy szögei numerikus adatainak a kiszámolásával, de ez nem vinne közelebb a bizonyításhoz.[/*][*]Felvettük az [i]AB, BC, CA[/i] szakaszok harmadolópontjait. [i]Miért?[/i] Egy bizonyítás menetének mindig ez a lépés a legkritikusabb pontja. [i]Miért kellett éppen ezzel egészítenünk az adatainkat? [/i]A rossz válasz az lenne, hogy azért, mert a végén ki fog derülni, hogy ez milyen hasznos volt. [br][url=https://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/wp-content/uploads/2014/11/gond.pdf]Pólya György tanácsait követve[/url] azonban ez az ötlet talán nem is a semmiből bukkant elő. Ha felidézzük a szabályos háromszöggel kapcsolatos ismereteinket, felmerülhet, hogy a szabályos háromszög középpontja súlypont: harmadolja a súlyvonalat, ...[/*][*] ... így [i]P. Q [/i]és [i]R[/i] a harmadoló pontokkal együtt további három szabályos háromszöget alkot. Sőt pl.[i] P[sub]1[/sub]R[sub]2[/sub] =Q[sub]1[/sub]Q[sub]2[/sub][/i] és [i]P[sub]2[/sub]Q[sub]1[/sub]=R[sub]2[/sub]R[sub]1[/sub][/i] és párhuzamosak is.[/*][*]A [i] P[sub]1[/sub]R[sub]2[/sub] [/i] és a[i] P[sub]2[/sub]Q[/i][sub]1 [/sub]szakaszokat R[sub]2[/sub]R ill. Q[sub]1[/sub]Q irányba eltolva ki tudunk alakítani két egymással egybevágó paralelogrammát.[/*][*]Ezeket a paralelogrammákat egy P körüli 60°-os forgatással át tudjuk vinni egymásba.[/*][*]Ezzel igazoltuk, hogy P körül Q-t 60°-kal elforgatva az R pontot kapjuk, tehát a PQR[i]Δ valóban szabályos. [/i][/*][/list]Mivel ezek a műveletek bármely speciális esetben ugyanígy elvégezhetők, ezzel a sejtésünket minden általános és speciális esetre igazoltuk.