Neste caso são fornecidos duas retas distintas r e s e um ponto A, e devemos encontrar o círculo que passa pelo ponto e é tangente as retas.

[b]1. As retas r e s são paralelas e o ponto A pertence apenas a uma delas: [/b]A solução é única;[b][br]2. As retas r e s são paralelas e o ponto A está entre elas: [/b]Há duas soluções;[br][b]3. As retas r e s são paralelas e o ponto A é separado de uma das retas pela outra: [/b]Não há solução;[br][b]4. As retas r e s são concorrentes e o ponto A pertence apenas a uma delas: [/b]Há duas soluções;[b][br]5. As retas r e s são concorrentes e o ponto A é a interseção entre elas: [/b]Não há solução;[br][b]6. As retas r e s são concorrentes e o ponto A não pertence a nenhuma delas: [/b]Há duas soluções.

(1-5) São dados duas retas r e s e um ponto A pertencente a r;[br](6) É construída a reta p perpendicular a r passando por A;[br](7) É determinado o ponto B de interseção entre p e s;[br](8) É determinado o ponto médio de AB, denominado O;[br](9) É traçado o círculo c de centro O passando por A (que também passará por B).

A circunferência c de centro O e raio OA é a solução do subcaso PRR1, pois passa por A e é tangente as retas r e s, uma vez que o raio OA é perpendicular a reta r, por construção, e o raio OB é perpendicar a reta s, pois esta última é paralela a r.

(1-6) São dados duas retas paralelas r e s e um ponto A entre elas;[br](7) É construída a reta p, entre r e s, paralela a ambas e equidistante das duas;[br](8) É traçado o círculo [i]a[/i] de centro A e raio igual a metade da distância entre r e s;[br](9-10) São determinados os pontos O[sub]1[/sub] e O[sub]2[/sub] de interseção entre a e p;[br](11-12) São traçados os círculos c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] de centros O[sub]1[/sub] e O[sub]2[/sub], respectivamente, passando por A.

Se a distância entre r e s é igual a d, qualquer circunferência que solucione o problema deve ter seu centro equidistante de r e s, pois os raios até os pontos de tangência com as retas r e s devem ser perpendiculares a essas retas, de modo que seus comprimentos coincidirão com a distância d/2. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de r e s é a reta p, paralela a ambas. Observe ainda que qualquer círculo que solucione o problema terá raio medindo d/2. Logo, procuramos pontos que estejam a essa distância do ponto A para serem centro de um círculo que solucione o problema, em outras palavras procuramos pontos sobre o círculo [i]a[/i] de centro A e raio d/2. Os centros dos círculos c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] procurados pertencerão então a interseção entre p e [i]a[/i], ou seja, serão os pontos O[sub]1[/sub] e O[sub]2[/sub].

Na construção anterior, referente ao subcaso PRR2, movimente o ponto A até que este não esteja entre as retas paralelas r e s e observe o que ocorre.[br] Você deve ter notado que não é possível obter a solução neste caso. Imagine que o ponto A esteja no semiplano determinado por r que não contém a reta s (caso estivesse no semiplano determinado por s que não contém r o raciocínio seria análogo) e suponhamos que o círculo que procuramos tangenciasse s em um ponto T de s, então teríamos de obter um cículo passando por A e T tangente a r, sendo que A e T estão em semiplanos opostos dentre os determinados por r. Assim, recaímos no caso [url=https://www.geogebra.org/m/yudc4bet]PPR4[/url], que como já vimos, não possui solução.[br] 

(1-5) São dados duas retas r e s e um ponto A pertencente a reta s;[br](6) São construídas as reta b[sub]1[/sub] e b[sub]2[/sub], bissetrizes das retas r e s;[br](7) É construída a reta p, perpendicular a s passando por A;[br](8-9) São determinados os ponto O[sub]1[/sub] e O[sub]2[/sub] de interseção entre p e b[sub]1[/sub] e b[sub]2[/sub];[br](10-11) São traçados os círculo c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] passando por A de centros O[sub]1[/sub] e O[sub]2[/sub], respectivamente.

Queremos determinar os centros de todos os círculos que solucionam este caso. Os mesmos devem estar localizados a igual distância das retas r e s, ou seja, sobre uma das bissetrizes b[sub]1[/sub] e b[sub]2[/sub]. Por outro lado, como o ponto A pertence a reta s ele deve ser o próprio ponto de tangência, o que significa que os centros procurados devem pertencer a reta p, já que o raio é sempre perpendicular a reta tangente no ponto de tangência. Portanto, como os centros devem pertencer simultaneamente a uma das bissetrizes b[sub]1[/sub] ou b[sub]2[/sub] e a reta p, concluímos que tais centros são, na verdade, os pontos O[sub]1[/sub] de interseção entre b[sub]1[/sub] e p e O[sub]2[/sub] de interseção entre b[sub]2[/sub] e p. Assim, os círculos procurados serão os círculos c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub].

Na construção anterior, referente ao subcaso PRR4, movimente o ponto A até que este coincida com o ponto de interseção entre as retas r e s e observe o que ocorre.[br] Você deve ter notado que não é possível obter a solução neste caso, pois o ponto A deveria ser simultaneamente o ponto de tangência das retas r e s com a circunferência que soluciona o problema. Se O é o centro de tal circunferência, o raio OA deveria ser perpendicular a r e a s ao mesmo tempo, o que não é possível, uma vez que as retas r e s não são paralelas neste caso.

(1-6) São dados duas retas concorrentes r e s e um ponto A que não pertence à nenhuma delas;[br](7) É construída a reta b, bissetriz das retas r e s, que possui interseção com a região do plano que contém o ponto A, consideradas as quatro regiões delimitadas pelas retas r e s;[br](8-9) É determinado o ponto A', simétrico do ponto A em relação à b;[br](10-11) É construída a reta AA' que passa por ambos os pontos A e A';[br](12-13) É determinado o ponto M[sub]1[/sub], ponto médio dos pontos A e A';[br](14-15) É determinado o ponto C, interseção de AA' e r;[br](16-17) É determinado o ponto M[sub]2[/sub], ponto médio de M[sub]1[/sub] e C;[br](18-19) É traçado o círculo d[sub]1[/sub], de centro M[sub]1[/sub] passando pelos pontos A e A';[br](20-21) É traçado o círculo d[sub]2[/sub] de centro M[sub]2[/sub], passando pelos pontos M[sub]1[/sub] e C;[br](22-23) São determinados os pontos P[sub]1[/sub] e P[sub]2[/sub], interseção de d[sub]1[/sub] e d[sub]2[/sub];[br](24-25) É traçado o círculo d[sub]3[/sub] de centro C, passando pelos pontos P[sub]1[/sub] e P[sub]2[/sub];[br](26-27) São determinados os pontos C[sub]1[/sub] e C[sub]2[/sub], interseção de d[sub]3[/sub] e r;[br](28-31) São traçados os círculos c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] passando pelos pontos A, A' e C[sub]1[/sub] e A, A' e C[sub]2[/sub].

Os centros O[sub]1[/sub] e O[sub]2[/sub] das circunferências c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] que procuramos precisam equistar das retas r e s, logo, pertencem a bissetriz b destas retas. Como o ponto A' é simétrico de A em relação a bissetriz b, então b é mediatriz do segmento AA', o que significa que A' deve estar a mesma distância que A que qualquer ponto sobre a reta b, em particular AO[sub]1[/sub]=A'O[sub]1[/sub] e AO[sub]2[/sub]=A'O[sub]2[/sub] e, portanto, A' é um ponto que pertence a ambas as circunferências c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub]. Note ainda que, como A não pertence a nenhuma das retas r ou s, também A', que está a mesma distância da bissetriz b, não pertencerá a nenhuma dessas retas. Assim, tomando qualquer uma das retas r ou s e os dois pontos A e A', recaímos no quinto subcaso do [url=https://www.geogebra.org/m/yudc4bet]Caso PPR[/url], o que justifica todos os passos da construção que se seguem após a construção do ponto A'.