Neste caso são fornecidos duas retas distintas r e s e um ponto A, e devemos encontrar o círculo que passa pelo ponto e é tangente as retas.

1. As retas r e s são paralelas e o ponto A pertence apenas a uma delas: A solução é única; 2. As retas r e s são paralelas e o ponto A está entre elas: Há duas soluções; 3. As retas r e s são paralelas e o ponto A é separado de uma das retas pela outra: Não há solução; 4. As retas r e s são concorrentes e o ponto A pertence apenas a uma delas: Há duas soluções; 5. As retas r e s são concorrentes e o ponto A é a interseção entre elas: Não há solução; 6. As retas r e s são concorrentes e o ponto A não pertence a nenhuma delas: Há duas soluções.

(1-5) São dados duas retas r e s e um ponto A pertencente a r; (6) É construída a reta p perpendicular a r passando por A; (7) É determinado o ponto B de interseção entre p e s; (8) É determinado o ponto médio de AB, denominado O; (9) É traçado o círculo c de centro O passando por A (que também passará por B).

A circunferência c de centro O e raio OA é a solução do subcaso PRR1, pois passa por A e é tangente as retas r e s, uma vez que o raio OA é perpendicular a reta r, por construção, e o raio OB é perpendicar a reta s, pois esta última é paralela a r.

(1-6) São dados duas retas paralelas r e s e um ponto A entre elas; (7) É construída a reta p, entre r e s, paralela a ambas e equidistante das duas; (8) É traçado o círculo a de centro A e raio igual a metade da distância entre r e s; (9-10) São determinados os pontos O₁ e O₂ de interseção entre a e p; (11-12) São traçados os círculos c₁ e c₂ de centros O₁ e O₂, respectivamente, passando por A.

Se a distância entre r e s é igual a d, qualquer circunferência que solucione o problema deve ter seu centro equidistante de r e s, pois os raios até os pontos de tangência com as retas r e s devem ser perpendiculares a essas retas, de modo que seus comprimentos coincidirão com a distância d/2. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de r e s é a reta p, paralela a ambas. Observe ainda que qualquer círculo que solucione o problema terá raio medindo d/2. Logo, procuramos pontos que estejam a essa distância do ponto A para serem centro de um círculo que solucione o problema, em outras palavras procuramos pontos sobre o círculo a de centro A e raio d/2. Os centros dos círculos c₁ e c₂ procurados pertencerão então a interseção entre p e a, ou seja, serão os pontos O₁ e O₂.

Na construção anterior, referente ao subcaso PRR2, movimente o ponto A até que este não esteja entre as retas paralelas r e s e observe o que ocorre. Você deve ter notado que não é possível obter a solução neste caso. Imagine que o ponto A esteja no semiplano determinado por r que não contém a reta s (caso estivesse no semiplano determinado por s que não contém r o raciocínio seria análogo) e suponhamos que o círculo que procuramos tangenciasse s em um ponto T de s, então teríamos de obter um cículo passando por A e T tangente a r, sendo que A e T estão em semiplanos opostos dentre os determinados por r. Assim, recaímos no caso PPR4, que como já vimos, não possui solução. 

(1-5) São dados duas retas r e s e um ponto A pertencente a reta s; (6) São construídas as reta b₁ e b₂, bissetrizes das retas r e s; (7) É construída a reta p, perpendicular a s passando por A; (8-9) São determinados os ponto O₁ e O₂ de interseção entre p e b₁ e b₂; (10-11) São traçados os círculo c₁ e c₂ passando por A de centros O₁ e O₂, respectivamente.

Queremos determinar os centros de todos os círculos que solucionam este caso. Os mesmos devem estar localizados a igual distância das retas r e s, ou seja, sobre uma das bissetrizes b₁ e b₂. Por outro lado, como o ponto A pertence a reta s ele deve ser o próprio ponto de tangência, o que significa que os centros procurados devem pertencer a reta p, já que o raio é sempre perpendicular a reta tangente no ponto de tangência. Portanto, como os centros devem pertencer simultaneamente a uma das bissetrizes b₁ ou b₂ e a reta p, concluímos que tais centros são, na verdade, os pontos O₁ de interseção entre b₁ e p e O₂ de interseção entre b₂ e p. Assim, os círculos procurados serão os círculos c₁ e c₂.

Na construção anterior, referente ao subcaso PRR4, movimente o ponto A até que este coincida com o ponto de interseção entre as retas r e s e observe o que ocorre. Você deve ter notado que não é possível obter a solução neste caso, pois o ponto A deveria ser simultaneamente o ponto de tangência das retas r e s com a circunferência que soluciona o problema. Se O é o centro de tal circunferência, o raio OA deveria ser perpendicular a r e a s ao mesmo tempo, o que não é possível, uma vez que as retas r e s não são paralelas neste caso.

(1-6) São dados duas retas concorrentes r e s e um ponto A que não pertence à nenhuma delas; (7) É construída a reta b, bissetriz das retas r e s, que possui interseção com a região do plano que contém o ponto A, consideradas as quatro regiões delimitadas pelas retas r e s; (8-9) É determinado o ponto A', simétrico do ponto A em relação à b; (10-11) É construída a reta AA' que passa por ambos os pontos A e A'; (12-13) É determinado o ponto M₁, ponto médio dos pontos A e A'; (14-15) É determinado o ponto C, interseção de AA' e r; (16-17) É determinado o ponto M₂, ponto médio de M₁ e C; (18-19) É traçado o círculo d₁, de centro M₁ passando pelos pontos A e A'; (20-21) É traçado o círculo d₂ de centro M₂, passando pelos pontos M₁ e C; (22-23) São determinados os pontos P₁ e P₂, interseção de d₁ e d₂; (24-25) É traçado o círculo d₃ de centro C, passando pelos pontos P₁ e P₂; (26-27) São determinados os pontos C₁ e C₂, interseção de d₃ e r; (28-31) São traçados os círculos c₁ e c₂ passando pelos pontos A, A' e C₁ e A, A' e C₂.

Os centros O₁ e O₂ das circunferências c₁ e c₂ que procuramos precisam equistar das retas r e s, logo, pertencem a bissetriz b destas retas. Como o ponto A' é simétrico de A em relação a bissetriz b, então b é mediatriz do segmento AA', o que significa que A' deve estar a mesma distância que A que qualquer ponto sobre a reta b, em particular AO₁=A'O₁ e AO₂=A'O₂ e, portanto, A' é um ponto que pertence a ambas as circunferências c₁ e c₂. Note ainda que, como A não pertence a nenhuma das retas r ou s, também A', que está a mesma distância da bissetriz b, não pertencerá a nenhuma dessas retas. Assim, tomando qualquer uma das retas r ou s e os dois pontos A e A', recaímos no quinto subcaso do Caso PPR, o que justifica todos os passos da construção que se seguem após a construção do ponto A'.