[b][size=100][size=150][br]＜複素数＞[/size][/size][/b][br]平方してー1になる数を[color=#0000ff]i(虚数単位）[/color]とする。i[sup]2[/sup]=-1。[math]i=\sqrt{-1}[/math][br]実数a,bを使い、a+biと表した数を[color=#0000ff]複素数(Complex number)[/color]という。[br]実数aを実部、bを虚部という。[br]b=0とすると、複素数の一部として、[color=#0000ff]実数(Real Number)[/color]を表す。[br]それ以外の複素数を特に、[color=#0000ff]虚数(Imagnary Number)[/color]と呼ぶある。[br]集合として、整数、有理数、実数、複素数の順に[math]\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}[/math]とかく。[br]２つの虚数が等しいのは、実部も虚部も等しいときに限る。[br][color=#0000ff]（例）[/color]i･i=-1 i/i=1 1/i=1･i/ i･i= i/-1=-i[br][br][br]※複素数は実部aと虚部bの２次元を持つので、座標平面上の点(a,b)に対応させて表示することもある。[br]また、原点からその点へのベクトルとしてみると、ベクトルの大きさの２乗はa[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]

[size=150][b]＜複素数の和と差＞[br][/b][/size]・複素数を実部aと虚部bの組（a,b)で表すことにする。[br]・和は実部が実部の和、虚部が虚部の和になる。差も同様。[br] (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)[br] (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)[br]・積は(a+bi)(c+di)=ac+bdi[sup]2[/sup]+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)iとなる。[br]・商は(a+bi)/(c+di)=[math]\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}=\frac{\left(ac+bd\right)+\left(-ad+bc\right)i}{c^2+d^2}[/math][br]　[color=#0000ff]これは、公式として覚えるのではなく、分母の有理化のように、分母の実数化ととらえよう。[br]　ただし、和と差の積が２乗の差で、[u]c+diに共役[[u]conjugate][/u]複素数[/u]をかけた結果が[br]　c[sup]2[/sup]-d[sup]2[/sup]でなく、[b]c[sup]2[/sup]+d[sup]2[/sup][/b]になることに注意しよう。iの２乗＝−１から、マイナス×マイナスでプラス。[br]・[/color]逆数1/(c+di)=(1+0i)/(c+di)=[math]\frac{c-di}{c^2+d^2}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color](1+2i)･(3+4i)=(1･3−2･4)+(1･4+2･3)i=-5+10i[br][color=#0000ff]（例）[/color]1/(1+2i)=(1−2i)/(1[sup]2[/sup]+2[sup]2[/sup])=(1−2i)/5[br][color=#0000ff]（例）[/color](1+2i)/(3+4i)=(1+2i)･(3-4i)/(3[sup]2[/sup]+4[sup]2[/sup])=[(1･3+2･4)+(1･-4+2･3)i]/25=(11+2i)/25[br][br][b][size=150]＜共役複素数＞[/size][/b][br]・複素数の虚部の符号だけを変えた数を[color=#0000ff][b]共役（conjugate）複素数[/b][/color]という。[br]　もとの複素数記号に上線をひく。[br] z=a+biの共役複素数は、[s]z[/s]=a−bi。[br]・和は2a。積はa[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]で、ともに実数になる。[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｚ＝3+4iのとき、共役複素数との和は2･3=6[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｚ＝3+4iのとき、共役複素数との積は3[sup]2[/sup]+4[sup]2[/sup]=25[br][br][b][size=150]＜極形式＞[/size][/b][br]複素数は実部とｘ軸、虚部をｙ軸とすると、座標平面における。[br]座標平面にある点Z（ｘ，ｙ）はベクトルのように、原点Oと結ぶことができまる。[br]Zの位置は、OZの大きさをｒ、OZとx軸の正の方向から反時計回りに測った角θで決まる。[br][color=#0000ff]ｚ＝ｒ(cosθ+sinθ i)[/color]とかける。[br][color=#0000ff]（理由）[/color][br]OZをｒで割った長さORは１なので、Rは単位円周上にある。[br]だから、Rは(cosθ,sinθ）とかける。[br]ということは、OZはそれをｒ倍しているだけだから、（ｒcosθ, r sinθ)という座標になる。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br][math]\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{100}[/math] の値は？[br]z=[math]\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+sin\left(\frac{\pi}{3}\right)i[/math][br]だから、[color=#0000ff]zは複素平面の単位円のθ=π/3の点だ。指数はz=1に対するθ回転の回数を表す。[br][/color]大きさが１なので、何回転（何乗）しても、大きさは１のままである。[br]これを前提にすると、計算しなくてもz[sup]3[/sup]=-1、z[sup]6[/sup]=1とわかる。[br]100÷6=16あまり4から、z[sup]100[/sup]=z[sup]4[/sup][br]π/3×４＝4/3π。[br]z[sup]100[/sup]=cos(4/3π)+sin(4/3π)i=[math]-\frac{1+\sqrt{3}l}{2}[/math]