[size=85]Die Tangenten einer [i][b]ganzrationalen Funktion 3. Ordnung[/b][/i] bilden ein [b]6-Ecknetz[/b].[br]Das Applet zeigt die Tangenten an den Funktionsgraphen durch die Punkte [b]P[sub]0[/sub][/b], [b]P[sub]1[/sub][/b], [b]P[sub]3[/sub][/b] und [b]P[sub]5[/sub][/b].[br][b][i]3 reelle Tangenten[/i][/b] gibt es für die Punkte [i]zwischen[/i] dem Graphen und der Wendepunkt-Tangente.[br]Die Punkte lassen sich so bewegen, dass ein 6-Eck zu entstehen scheint.[br]Dass dieser Schein nicht trügt, ist bewiesen (s.u.).[/size]

[size=85]Die obige "Konstruktion" ist natürlich [i][b]kein[/b][/i] Beweis für die Aussage, zumal die Tangenten Näherungslösungen sind. [br]Die exakte Lösung von kubischen Gleichungen mit [i][b]GeoGebra-CAS[/b][/i] ist wohl erst für eine spätere Version vorgesehen (? Stand Febr. 2017).[br]Verschiebt man [color=#980000][b]P[sub]0[/sub][/b][/color] aus dem helleren Bereich, so verschwinden Berührtangenten und die auf ihnen liegenden Punkte![br][/size][i][b][size=85]Was ist ein 6-Ecknetz?[/size][/b][/i][size=50][br]Drei Kurvenscharen mit der Eigenschaft "durch jeden Punkt eines Gebietes geht genau eine Kurve aus jeder Schar" bilden ein 6-Ecknetz, wenn sich die oben angedeutete Figur, beginnend mit einem Punkt [color=#980000][b]P[sub]0[/sub][/b][/color], einem weiteren Punkt [color=#980000][b]P[sub]1[/sub][/b][/color] auf einer der Kurven usw. ..., zu einem Sechseck schließt.[br]Drei Geradenbüschel, das sind Geraden durch einen Punkt oder die Parallelen einer Geraden, bilden immer ein 6-Ecknetz! [b][color=#0000ff]Ausprobieren!!!![/color][/b][br][i][b][size=85]Warum trügt der Schein nicht?[br][/size][/b][/i][/size][size=50]Der [/size][size=50][i][b]Satz von Graf und Sauer[/b][/i] (1929) besagt: " Die Tangenten einer Kurve 3. Klasse bilden ein 6-Ecknetz". [br]Eine Kurve 3. Klasse ist eine Kurve 3. Ordnung mit der Eigenschaft: durch jeden Punkt eines Gebietes gehen genau 3 Tangenten. [/size][br][size=50]Siehe "[url=https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Kurve]Algebraische Kurven[/url]" bei wikipedia.[/size][br][i][b][size=85]Kann man das obige 6-Ecknetz mit Geogebra "konstruieren"? [br][/size][/b][/i][size=85][color=#ff0000][b][size=50]Dies als Anregung![/size][/b][/color][/size][br][br][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][/size]