Auf der vorherigen Seite haben wir die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (kurz: "p-q-Formel") hergeleitet über die quadratische Ergänzung.[br][br]Die [b]Anwendung[/b] der p-q-Formel gestaltet sich aber deutlich einfacher. Wichtig ist, dass die quadratische Gleichung in der sog. Normalform[br][math]x^2+px+q=0[/math][br]vorliegt.[br]Ist dies nicht der Fall, z.B. weil vor dem x[sup]2[/sup] noch ein Vorfaktor steht oder die einzelnen Summanden nicht auf einer Seite der Gleichung stehen, so ist die Gleichung vorher durch Äquivalenzumformung auf die Normalform umzuformen.[br][br]Das "[i]Kochrezept[/i]" zur Verwendung der "p-q-Formel" lautet:[br][list=1][*]Nimm die Zahl vor dem "x", teile sie durch 2 und drehe das Vorzeichen um (-p/2).[/*][*]Dann das Doppelzeichen [math]\pm[/math][/*][*]Dann die Wurzel.[/*][*]Dann das Quadrat aus der Zahl aus Schritt 1 (dies ist die sog.[i] quadratische Ergänzung[/i])[/*][*]Ziehe die Zahl ohne "x" (also das q) davon ab (wobei -(-q) = +q ist, also ein negatives q wird addiert).[/*][/list] [br]

[b]Beispiel 1: [/b] Bei der quadratischen Gleichung[br][b][math]x^2+9x+18=0[/math][/b] ist p=9 und q=18: [br][math]\Longleftrightarrow x=-\frac{9}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2-18}[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=-4,5\pm\sqrt{\frac{81}{4}-\frac{72}{4}}[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=-4,5\pm\sqrt{\frac{9}{4}}[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=-4,5\pm1,5[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=-4,5+1,5=-3\vee x=-4,5-1,5=-6[/math][br][br]Die quadratische Gleichung [math]x^2+9x+18=0[/math][br]besitzt also die Lösungen x=-3 und x=-6.[br]Anders formuliert:[br]Der Graph der Parabel zu [math]f\left(x\right)=x^2+9x+18[/math]schneidet die x-Achse bei / besitzt die Nullstellen x=-3 und x=-6.[br]

[b]Beispiel 2:[br][/b]Gegeben ist die Funktion [math]f\left(x\right)=-2x^2+8x-10[/math].[br]Bestimme die Nullstellen der Funktion.[br][br]Zu lösen ist die quadratische Gleichung[math]-2x^2+8x-10=0[/math]. Da vor dem x[sup]2[/sup]noch der Vorfaktor -2 steht, ist die gesamte Gleichung noch durch -2 zu dividieren:[br][math]-2x^2+8x-10=0[/math][br][math]\Longleftrightarrow x^2-4x+5=0[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)-5}[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=2\pm\sqrt{2^2-5}[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=2\pm\sqrt{-1}[/math][br][br]Da unter der Wurzel eine negative Zahl steht (Diskriminante ist kleiner als Null), kann die Wurzel nicht berechnet werden. Die quadratische Gleichung hat also [b][i]keine Lösung.[br][/i][/b][br]Das ist gleichbedeutend damit, dass der Graph zur Parabel [math]f\left(x\right)=-2x^2+8x-10[/math] [i] keine Nullstellen[/i] besitzt, da dieser bspw. nach unten geöffnet und nach unten verschoben ist.