L'objectif est d'étudier graphiquement les équations du type :[br]ax+by=c[br]où a, b, c sont trois paramètres réels et où les inconnues sont x et y.
On cherche à trouver tous les nombres x et y qui vérifient l'équation : 2x+3y=4.[br]Pour chaque position du point M de coordonnées (x,y) on affiche le résultat du calcul 2x+3y. [br]Déplacer le point M pour repérer des positions pour lesquelles 2x+3y=4. [br]Créer alors un point à cette position. [br]Placer ainsi quatre ou cinq points de coordonnées (x,y) qui vérifient 2x+3y=4
Donner les coordonnées de vos points A et B et vérifier par le calcul que leurs coordonnées vérifient bien [br]2x+3y=4
Où semblent se trouver tous les points de coordonnées (x,y) vérifiant 2x+3y=4 ?[br]* On pourra utiliser le bouton aide qui laisse une trace rouge quand 2x+3y=4[br]Compléter votre figure en traçant l'ensemble de tous ces points avec l'outil [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon]
Faire de même avec l'appliquette ci-dessous et l'équation [b]4x+6y =8[/b] en modifiant les valeurs de a, b et c.[br][list][*]Placer quelques points dont les coordonnées vérifient l'équation [b]4x+6y =8[/b][/*][*]Tracer l'ensemble de ces points avec l'outil [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon][/*][/list]
Comparer les droites tracées pour représenter les points de coordonnées vérifiant 2x+3y=4 et 4x+6y=8.
On peut démontrer la propriété suivante :[br][color=#45818e][b]Propriété[/b] (admise): Pour tous nombres réels a, b, c (avec a et b qui ne valent pas tous les deux zéro en même temps) l'équation [b]ax+by=c[/b] est vérifiée par les couples (x,y) qui sont les coordonnées de points alignés sur une droite.[/color][br][br]On dit par exemple que 2x+3y=4 est UNE équation cartésienne de la droite tracée précedemment.[br][list][*]Pourquoi dit-on [b]une [/b]équation cartésienne de la droite et pas [b]l'[/b]équation cartésienne de la droite ?[/*][/list]
Tracer ci-dessous la droite d'équation cartésienne [b]2x+y =1[/b] en modifiant les valeurs de a, b et c.[br]
Tracer ci-dessous la droite d'équation cartésienne [b]-3x+4y =1[/b] en modifiant les valeurs de a, b et c.[br]
Il suffit de déterminer deux points de cette droite. On peut le faire par le calcul. Il suffit de choisir une valeur quelconque de x (ou de y) et de déterminer la valeur de l'autre inconnue y (ou x) en résolvant une équation.[br][list][*]Remarque : parfois un couple (x,y) solution peut sauter aux yeux. [/*][*]Exemple avec l'équation précédente [b]-3x+4y=1 [br][/b]On peut "voir" que -3+4=1 et donc (1,1) est solution. Il nous faut un autre couple de coordonnées.[br]Je choisis x=5 et je trouve y en résolvant :[br][math]-3\times5+4y=1[/math][br]c'est à dire 4y=16, soit y=4. Ainsi (5,4) est solution.[br]La droite d'équation cartésienne [b]-3x+4y=1 [/b]est donc la droite (AB) où A(1,1) et B(5,4).[/*][*]Remarque : pour une autre valeur de x que 5, on peut trouver pour y une fraction qui n'est pas simple à placer précisément sur le graphique. Il faut donc parfois tâtonner ou choisir sa valeur de x ou y judicieusement.[/*][/list]
[color=#0000ff][b][size=150]Application[/size][/b][br]On s'intéresse à la droite ([i]d[/i]) d'équation cartésienne [b]3x-2y=2.[/b] [/color][br]
Déterminer y afin que le point de coordonnées (0,y) soit sur la droite ([i]d[/i]) d'équation cartésienne [b]3x-2y=2.[/b]
Déterminer x afin que le point de coordonnées (x,2) soit sur la droite ([i]d[/i]).
Donner les coordonnées des deux points A et B ainsi déterminés tels que ([i]d[/i]) est la droite (AB).
[b][size=150][color=#0000ff]Exercice.[/color][br][/size][/b]Tracer la droite ([i]d'[/i]) d'équation cartésienne [b]x+2y=4[/b].[br][i]On pourra chercher les points d'intersection de (d') avec les deux axes.[/i]