Sea [math]F:U\longrightarrow\mathbb{R}^n[/math] un campo vectorial continuo en una región [math]U\longrightarrow\mathbb{R}^n[/math] y [math]C\subset U[/math] una curva suave a trozos parametrizada por una función [math]r:\left[a,b\right]\longrightarrow\mathbb{R}^n[/math], la integral de línea del campo vectorial [math]F[/math] sobre [math]C[/math] en la dirección de [math]r[/math], está definida como:[br][br]        [math]\int_CF\cdot dr=\int_a^bF\left(r\left(t\right)\right)\cdot r'\left(t\right)dt[/math][br][br]donde [math]\cdot[/math] es el producto escalar entre vectores y la función [math]r:\left[a,b\right]\longrightarrow\mathbb{R}^n[/math] es una parametrización arbitraria de [math]C[/math] donde [math]r\left(a\right)[/math] y [math]r\left(b\right)[/math] son los puntos iniciales y finales respectivamente. Las integrales de línea de campo vectoriales solo son independientes de la parametrización de [math]C[/math], no son independientes de la orientación de [math]C[/math], para este tipo de integrales, si [math]C[/math] es una curva simple orientada y [math]-C[/math] denota la misma curva con orientación opuesta entonces:[br][br]         [math]\int_CF\cdot dr=\int_{-C}F\cdot dr[/math][br][br]Ejemplo: Calcular el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva cerrada simple [math]C[/math] donde [math]C_1:y=x^3,C_2:y=x^3[/math], y el campo de fuerzas está dado por el campo vectorial [math]F\left(x,y\right)=\left(x^2-y^2,2y-x\right)[/math]. [br][br]Grafiquemos el campo vectorial y la curva sobre la que se mueve la partícula:

El campo vectorial está dibujado en rojo y la curva cerrada simple [math]C[/math] está dibujada en azul. [br][br]Lo siguiente es calcular [math]F\left(C\left(t\right)\right)\cdot C'\left(t\right)[/math], para ello tenemos que parametrizar la curva [math]C[/math]. Una posible parametrización es la siguiente: [math]C:C_1=\left(t,t^3\right),C_2=\left(t,t^2\right),0\le t\le1[/math]. [br][br]Ahora debemos hacer la composición [math]F\left(C_1\left(t\right)\right)[/math] y [math]F\left(C_2\left(t\right)\right)[/math][br][br][math]F\left(C_1\left(t\right)\right)=\left(\left(t\right)^2-\left(t^3\right)^2,2\left(t^3\right)-t\right)=\left(t^2-t^6,2t^3-t\right)[/math][br][br][math]F\left(C_2\left(t\right)\right)\left(\left(t\right)^2-\left(t^2\right)^2,2\left(t^2\right)-t\right)=\left(t^2-t^4,2t^2-t\right)[/math][br][br]Calculemos también [math]C_1'\left(t\right),C_2'\left(t\right)[/math]:[br][br][math]C_1'\left(t\right)=\left(1,3t^2\right)[/math][br][br][math]C_2'\left(t\right)=\left(1,2t\right)[/math][br][br]Finalmente, calculemos [math]\int_a^bF\left(C\left(t\right)\right)\cdot C'\left(t\right)dt[/math]:[br][br][math]\int_a^bF\left(C\left(t\right)\right)\cdot C'\left(t\right)dt=\int_0^1\left(t^2-t^6,2t^3-t\right)\cdot\left(1,3t^2\right)dt+\int_0^1\left(t^2-t^4,2t^2-t\right)\cdot\left(1,2t\right)dt[/math][br][br][math]\int_0^1\left(t^2-t^6,2t^3-t\right)\cdot\left(1,3t^2\right)dt=\int_0^1\left(t^2-t^6,2t^3-t\right)\cdot\left(1,3t^2\right)dt[/math][math]=\int_0^1\left(-t^6+6t^5-3t^3+t^2\right)dt[/math][br][br][math]\left(-\frac{1}{7}t^7+t^6-\frac{3}{4}t^4+\frac{1}{3}t^3\right)\mid_0^1=\frac{37}{84}[/math][br][br][br][math]\int_0^1\left(t^2-t^4,2t^2-t\right)\cdot\left(1,2t\right)dt=\int_0^1\left(t^2-t^4,2t^2-t\right)\cdot\left(1,3t^2\right)dt=\int_0^1\left(5t^4-3t^3+t^2\right)dt[/math][br][br][math]\left(t^5-\frac{3}{4}t^4+\frac{1}{3}t^3\right)\mid_0^1=\frac{7}{12}[/math][br][br][math]\int_0^1\left(t^2-t^6,2t^3-t\right)\cdot\left(1,3t^2\right)dt+\int_0^1\left(t^2-t^4,2t^2-t\right)\cdot\left(1,2t\right)dt=\frac{37}{84}+\frac{7}{12}=\frac{43}{42}[/math]