[color=#ff7700][b]Proposición 1[/b].[/color] [b][i]Construir un triángulo equilátero sobre un segmento.[/i][/b][br][br][color=#ff7700][b]Prueba comentada[/b].[/color] Sea AB el segmento del enunciado. Sea c(A) el círculo dibujado con centro A y radio AB, y sea c(B) el círculo dibujado con centro B y radio BA, [Post 3]. Sean C y D los dos puntos de la intersección de c(A) y c(B), [sup](1)[/sup]. Entonces el radio AC es igual al radio AB, y el radio BC es igual al radio BA, en ambos casos por ser radios un mismo círculo [Def 11]. Como AB es igual a BA, [sup](2)[/sup],[sup] [/sup]entonces AC es igual a BC [Noc 1]. [math]\square[/math] [br][br][sup](1)[/sup] Que dos tales circunferencias deban intersectarse no se desprende de los postulados.[br][br][sup](2) [/sup]La noción de "igual" parece referirse a una congruencia entre segmentos: (i) AB es congruente con BA ([Noc 4] si entendemos al segmento AB como el conjunto de sus puntos), (ii) si AB es congruente con BC y BC es congruente con DE, entonces AB es congruente con DE, ([Noc 1] si entendemos por "cosa" a un segmento).[br][br][b][color=#ff7700]Proposición 2. [/color][i]Colocar[/i][/b][i][b] un segmento igual a otro dado, con extremo en un punto dado.[/b][br][br][/i][color=#ff7700][b]Prueba comentada.[/b] [/color] Sea BC el segmento dado y A el punto dado. Si A coincide con B o C entonces BC sería el segmento que se busca. Supongamos A no coincide con B o C. Asumamos que A no coincide con B. Sea c(B) la circunferencia de centro B y radio BC. Sea ADB el triángulo equilátero construido siguiendo la Proposición 1. Sea DE la extensión de DA, y DF la extensión de DB siguiendo el Postulado 2, [sup](1)[/sup]. Sea c(B) el círculo de centro B y radio BC que corta a DF en el punto G. [math]\square[/math][br][br][sup](1)[/sup] Hay cierta vaguedad sobre el concepto de "recta", que podría indicar un segmento, un rayo o una recta inextensible. Parece ser evidente que Euclides se refiere implícitamente a DE y DF como rayos y no rectas inextensibles. El Postulado 2 debe entenderse como que habilita la extensión de un segmento en rayos y también en rectas, e involucrar indirectamente el concepto de dirección.