Kružnice opsanou i vepsanou můžeme zkoumat u všech mnohoúhelníků. [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnice_vepsan%C3%A1]Kružnice vepsaná[/url] se dotýká všech stran mnohoúhelníku. To znamená, že každá strana mnohoúhelníku musí být tečnou kružnice vepsané. Na [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnice_opsan%C3%A1]kružnici opsané[/url] leží všechny vrcholy mnohoúhelníku. Zatímco každému trojúhelníku můžeme vždy kružnici vepsat i opsat, pro obecné čtyřuhelníky většinou kružnice takových vlastností neexistují. [br][br][url=https://cs.wikipedia.org/wiki/%C4%8Ctverec]Čtverec[/url] je krásný, symetrický útvar a i díky této symetrii má kružnice opsané i vepsané. Středy těchto kružnic jsou ve středu čtverce. Dopře si prohlédněte animaci a promyslete, jak určíte poloměry kružnice vepsané a kružnice opsané. Pokuste se nastavit hodnotu posuvníku [i]r[/i] právě pro hodnotu vepsané kružnice. Jaké má tečna kružnice vlastnosti?[br]Zvětšete applet na celou obrazovku. Nezdá se vám, že jsou strany čtverce pod tíhou množiny soustředných kružnic trochu prohnuté? Pokuste se zobrazit tak, aby byla [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenstein_illusion#/media/File:Ehrenstein.svg]Ehrensteinova iluze[/url] co možná nejnápadnější. Obrázek vytiskněte a ověřte pravítkem přímost stran.
Tečna kružnice je přímka, která
Do čtverce s délkou strany [i]a[/i] vepíšeme kružnici. Pro poloměr [i]r[/i] kružnice vepsané platí:
Nejprve se pokuste o konstrukci sami. Pokud se vám nepodaří najít správný nástroj, nahlédněte do návodu pod appletem. Své řešení porovnejte s naším (zaškrtněte políčko "?")
Návod: [br]1. Poloměr kružnice je proměnná zadána posuvníkem [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon]. Když posuvníkem změníme hodnotu [i]r[/i], musí se změnit i velikost nakreslené kružnice. Použijte nástroj kružnice daná středem a poloměrem [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlepointradius.png[/icon]. Poloměr zadejte jménem proměnné - r. Zkontrolujte, zda propojení hodnoty posuvníku r s poloměrem kružnice pracuje správně. [br]2. Zvolíme dynamický bod na objektu[icon]/images/ggb/toolbar/mode_pointonobject.png[/icon]. Po kliknutí na kružnici sestrojíme bod, který se sice může pohybovat, ale jen po obvodu kružnice. To je zdůrazněno světle modrou barvou bodu.[br]3. Tečna kružnice je kolmá k průměru kružnice. Nejprve sestrojíme přímku ST [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon] a poté vedeme bodem T kolmici [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon] k přímce ST.[br]
Úloha není zadána jednoznačně. Velikost čtverce je dána, ale jeho natočení můžeme zvolit libovolně. Všechna řešení budou mít ale stejnou vepsanou kružnici. [br]1. Kružnice vepsaná čtverci je dána středem[i] S[/i] a poloměrem [i]r = a/2[/i], proto použijeme nástroj [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlepointradius.png[/icon].[br]2. Příkazem[icon]/images/ggb/toolbar/mode_pointonobject.png[/icon] zvolíme bod [i]T[/i] na kružnici.[br]3. Průměr kružnice ST - nástroj přímka[icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon].[br]4. Průsečík [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] kružnice a přímky ST[br]5. Protilehlé strany čtverce jsou tečny kružnice vepsaná, sestrojíme je jako kolmice [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon] k průměru ST.[br]6., 7. Stejnou konstrukcí zbývající dvě tečny.[br]8. Průsečíky [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] vzájemně kolmých tečen jsou vrcholy čtrverce.[br]9. Kontrola řešení při všech hodnotách posuvníku [i]a[/i]. Pohybem bodu dotyku [i]T[/i] po kružnici zobrazíte všechna řešení. [br]