Lien entre la convexité d'une fonction, le sens de variation de sa dérivée, le signe de sa dérivée seconde et la position de la tangente par rapport à la courbe.

[math]f[/math] est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.[br]Les propositions suivantes sont équivalentes :[br][list=1][br][*] la fonction [math]f[/math] est convexe sur I ;[br][*] la fonction [math]f'[/math] est croissante sur I ;[br][*] la fonction [math]f''[/math] est positive sur I ;[br][*] la courbe de la restriction de la fonction [math]f[/math] à I est au-dessus de sa tangente.[br][/list][br]Les propositions suivantes sont équivalentes :[br][list=1][br][*] la fonction [math]f[/math] est concave sur I ;[br][*] la fonction [math]f'[/math] est décroissante sur I ;[br][*] la fonction [math]f''[/math] est négative sur I ;[br][*] la courbe de la restriction de la fonction [math]f[/math] à I est au-dessous de sa tangente.[br][/list]