[color=#980000][i][right][size=85][color=#980000][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [b]geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle tools[/url][/b] (November 2018)[/size][/color][/size][/right][/i][/color][size=85][br][color=#980000][i][b]Zwei Kreise[/b][/i][/color] erzeugen ein [b](lineares) [color=#980000][i]Kreisbüschel[/i][/color][/b]:[br][br][list][*][color=#00ff00][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] (parabolic pencil of circles): erzeugt von 2 Kreisen, [br]die sich in einem Punkt berühren.[br]Die orthogonalen Kreise dazu bilden ebenfalls ein [color=#93c47d][i][b]parabolisches Kreisbüschel [/b][/i][/color][br][color=#93c47d][color=#000000]([color=#ff7700][i][b]polares[/b][/i][/color] Kreisbüschel)[/color][/color]; sie berühren sich in demselben Berührpunkt.[br]Wir nennen 2 sich [i]berührende Kreise[/i] [b]parabolisch[/b] [br] - 2 tangent circles = "[b]parabolic[/b]" circles.[/*][br][*][color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel [/b][/i][/color](elliptic pencil of circles): erzeugt von 2 Kreisen, [br]die sich in 2 Punkten, den [i][b]Grundpunkten[/b][/i] des Büschels, schneiden. [br]Wir nennen 2 sich schneidende Kreise [b]elliptisch[/b] [br] - 2 circles with 2 common points = [b]"elliptic[/b]" circles.[br]Die [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] Kreise dazu bilden ein ...[/*][br][*][i][b][color=#0000ff]hyperbolisches Kreisbüschel[/color] [/b][/i](hyperbolic pencil of circles): erzeugt von 2 Kreise, die sich nicht schneiden. [br]Die orthogonalen Kreise dazu schneiden sich in 2 Punkten [br]und bilden das [color=#ff7700][i][b]polare[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color]. [br]Die [i][b]Grundpunkte[/b][/i] des elliptischen Büschels sind die [i][b]Punktkreise[/b][/i] des hyperbolischen Büschels.[br]Wir nennen 2 sich nicht schneidende Kreise [b]hyperbolisch[/b][br] - 2 circles without common points = "[b]hyperbolic[/b]" circles.[/*][/list][br][i][b]Fragen und Antworten:[br][/b][/i][br][color=#0000ff][i][b]Wie überdecken die Kreise eines Kreisbüschels die Ebene?[/b][/i][/color][br][list][*]Gegeben sind ein Kreisbüschel und ein von den Grundpunkten oder [br]dem Berührpunkt verschiedener Punkt.[br]Dieser Punkt liegt auf genau einem Kreis des Kreisbüschels [br]und auf genau einem Kreis des [color=#ff7700][i][b]polaren[/b][/i][/color] Kreisbüschels.[br][/*][/list][color=#0000ff][i][b]Welche Symmetrieen gibt es zu zwei Kreisen?[/b][/i][/color][br][list][*]Zwei sich berührende Kreise ([color=#00ff00][i]2 parabolic circles[/i][/color]) besitzen genau [i][b]einen[/b][/i] Symmetriekreis: [br]gespiegelt an diesem werden die beiden vorgegebenen Kreise vertauscht.[br]Der Symmetriekreis liegt in dem von den beiden vorgegebenen Kreisen erzeugten [br][i][color=#00ff00]parabolischen[/color][/i] Kreisbüschel.[br]Die Spiegelungen an den Kreisen des [color=#ff7700][i][b]polaren[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i]parabolischen[/i][/color] Kreisbüschels lassen [br]die beiden vorgegebenen Kreise invariant. [/*][*]Zwei sich schneidende Kreise ([color=#ff0000][i]2 elliptic circles[/i][/color]) besitzen [b]2[/b] Symmetriekreise: [br]gespiegelt an diesen werden die beiden vorgegebenen Kreise vetauscht. [br]Die beiden Symmetriekreise sind die Winkelhalbierenden der beiden vorgegebenen Kreise. [br]Sie sind orthogonal und liegen in demselben [color=#ff0000][i]elliptischen[/i][/color] Kreisbüschel. [br]Die Spiegelungen an den Kreisen des [color=#ff7700][i][b]polaren[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i]hyperbolischen[/i][/color] Büschels lassen die [br]beiden vorgegebenen Kreise invariant.[br][/*][*]Zwei sich n i c h t schneidende Kreise ([color=#0000ff][i]2 hyperbolic circles[/i][/color]) besitzen genau [b]1[/b] Symmetriekreis: [br]gespiegelt an diesem werden die beiden vorgegebenen Kreise vertauscht. [br]Der Symmetriekreis liegt in dem von den vorgegebenen Kreisen erzeugten [color=#0000ff][i]hyperbolischen[/i][/color] Kreisbüschels.[br]Die Spiegelungen an den Kreisen des [color=#ff7700][i][b]polaren[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i]elliptischen[/i][/color] Kreisbüschels lassen [br]die beiden vorgegebenen Kreise invariant.[br]Es gibt noch eine weitere Spiegelung, welche die beiden vorgegebenen Kreise vertauscht. [br]Der zugehörige Kreis ist allerdings imaginär.[/*][/list][br][color=#0000ff][i][b]Warum werden diese Kreisbüschel linear genannt?[br][/b][/i][/color][br]Betrachtet man mit Hilfe der [i][b]stereographischen Projektion[/b][/i] die Kreise auf der [b]RIEMANN[/b]schen Zahlenkugel, [br]so stellt man fest, dass die Bilder der Kreise übereinstimmen mit den [i][b]Schnitten der Kugel mit Ebene[/b][b]n[/b][/i].[br]Die Kreise eines Kreisbüschels lassen sich nun auf zwei Weisen charakterisieren:[br][br]Die Pole der Kreisebenen eines Kreisbüschels liegen auf einer [color=#ff7700][i][b]Geraden[/b][/i][/color], welche die Kugel berührt ([color=#00ff00][i]parabolisch[/i][/color]) [br]oder in 2 Punkten schneidet ([color=#0000ff][i]hyperbolisch[/i][/color]) oder nicht schneidet ([color=#ff0000][i]elliptisch[/i][/color]).[br]Die Kreisebenen eines Kreisbüschels gehen durch eine [color=#ff7700][i][b]Gerade[/b][/i][/color], [br] - welche die Kugel berührt ([color=#00ff00][i]parabolisch[/i][/color]) [br] - oder schneidet ([color=#ff0000][i]elliptisch[/i][/color]) [br] - oder nicht schneidet ([color=#0000ff][i]hyperbolisch[/i][/color]).[/size]