Diagonalen - Satz des Pythagoras
Diagonale im Quadrat
Die Diagonale [i]d[/i] eines Quadrats mit der Seitenlänge [i]a[/i] soll berechnet werden.[i][left][i] (Ändere den Wert von a im Applet nicht!)[/i][/left][/i]
Aufgabe 1a
Um [i]d[/i] zu berechnen, bestimmen wir zunächst [i]d[sup]2[/sup][/i]; das ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge [i]d[/i].[br][br][list][*]Zeichne das [i]"Quadrat über d"[/i] ein ("Quadrat" anhaken, aber nicht "Zerlegung").[br][br][/*][*]Wie groß ist sein Flächeninhalt im Vergleich zum gegebenen [i]"Quadrat über a"[/i]?[br][br][/*][*]Wenn du die Frage nicht beantworten kannst, hilft dir die Zerlegung der Fläche (anhaken!). [br][/*][/list]
Aufgabe 1b
[list][*]Drücke das Ergebnis von Aufgabe 1a als Formel mit den Variablen [i]d[/i] und [i]a[/i] aus.[br][br][/*][*]Löse die Formel nach [i]d[/i] auf.[br][/*][/list]
Diagonale im Rechteck
Wir berechnen nun die Diagonale [i]d[/i] eines Rechtecks mit den Seitenlängen [i]a[/i] und [i]b[/i].[br][i] (Ändere jetzt den Wert von a im Applet, sodass das Rechteck kein Quadrat ist!)[/i]
Aufgabe 2a
Um [i]d[/i] zu berechnen, bestimmen wir zunächst wieder [i]d[sup]2[/sup][/i]; das ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge [i]d[/i].[br][br][list][*]Zeichne das [i]"Quadrat über d"[/i] ein ("Quadrat" und "Zerlegung" anhaken).[br]Die Zerlegung der Fläche enthält jetzt nicht nur Dreiecke [math]\Delta[/math], sondern auch ein kleines Quadrat Q.[br][br][/*][*]Drücke den Flächeninhalt A[sub]1[/sub] des Rechtecks und A[sub]2[/sub] des Quadrats über [i]d[/i] durch [math]\Delta[/math] und Q aus.[br][br][/*][*]Drücke den Zusammenhang zwischen A[sub]1[/sub] und A[sub]2[/sub] aus.[/*][/list]
Aufgabe 2b
[list][*]Wie groß ist die Seitenlänge [i]s[/i] des kleinen Quadrats Q?[br][br][/*][*]Drücke das Ergebnis von Aufgabe 2a als Formel mit den Variablen [i]d[/i] und [i]a[/i] aus.[br][br][br][/*][/list]
Aufgabe 2c
[list][*]Vereinfache die Formel aus Aufgabe 2b.[br][br][/*][*]Löse sie nach [i]d[/i] auf. [br][/*][/list]
Aufgabe 3
Berechne die Länge der Diagonalen (auf eine Dezimale genau):[br][br]a) Quadrat: [i]a[/i] = 5 cm.[br][br]b) Rechteck: [i]a[/i] = 6 cm, [i]b[/i] = 2,5 cm.
Rechtwinklige Dreiecke
Die Diagonale [i]d[/i] im Rechteck ist die [b]Hypotenuse[/b] eines rechtwinkligen Dreiecks mit den [b]Katheten[/b] [i]a[/i] und [i]b[/i].[br](Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber, die Katheten schließen ihn ein.)[br]Wir haben in Aufgabe 2 die Formel für den Zusammenhang zwischen den Katheten und der Hypotenuse bewiesen:[br][center][math]d^2=a^2+b^2[/math][/center] Bezeichnet man die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit [i]a[/i], [i]b[/i] und die Hypotenuse mit [i]c[/i], so erhält man[br][center][math]a^2+b^2=c^2[/math][/center]
[size=150][size=100]Das ist der berühmte [color=#0000ff][b]Satz des Pythagoras[/b][/color]:[/size][br][br][color=#0000ff]In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.[/color][/size]