Nous savons que le chemin le plus court entre deux points sur une sphère est l'arc de grand cercle les reliant. Dans le cas d'un navire ou d'un avion qui se déplace suivant un arc de grand cercle sur la Terre, on dit qu'il suit une [b]trajectoire orthodromique[/b] (du grec [i][font=Georgia]orthodromein [/font][/i]qui veut dire "[i]courir en ligne droite[/i]").[br][br]Remarquez qu'un navire peut emprunter le chemin qui lui plaît, mais il parcourra la plus petite distance s'il suit une trajectoire orthodromique.

On peut évidemment mesurer la distance orthodromique en mètres, mais il est courant de la donner en degrés ou en milles marins.[br][br]Le [b]mille marin[/b] est historiquement défini par [math]\boxed{1 \text{ mille marin}\ (1 \text{ m.m.})\approx 1'=\left(\frac{1}{60}\right)\degree}[/math] d'arc de grand cercle. [br][br][br]Comme le choix du rayon de la Terre peut varier d'une personne à l'autre, nous utiliserons, dans ces notes, le [b]rayon moyen de la Terre[/b], défini par l'[i]International Union of Geodesy and Geophysics[/i] à [math]\boxed{6 371\text{ km}}[/math].[br][br]Ainsi, une distance de [math]5\text{ m.m.}[/math] équivaut à [br][br][center][math]5\text{ m.m.}=5'=\left(\frac{5}{60}\right)^\circ=\frac{\left(\frac{5}{60}\right)^\circ}{360^\circ}\times2\pi\times6371\text{ km}\approx 9,27 \text{ km}[/math][/center]

[table][tr][td][b][size=150][color=#e69138][size=200]NOTE[/size][/color][/size][/b][/td][td][i][size=85]En fait, le mille marin a été défini au début du XX[sup]e[/sup] siècle comme valant [u]exactement[/u] [math]1\text{ m.m.} = 1 852 \text{ mètres}[/math]. Pour des fins pédagogiques, nous ferons fi de cette définition et nous nous rabattrons toujours à ce que [math]1\text{ m.m.}=1'[/math], avec un rayon de la Terre de [math]6371\text{ km}[/math] (ce seront des exercices supplémentaires de conversion, comme à l'étape 1).[/size][/i][/td][/tr][/table]

La vitesse d'un navire ou d'un avion peut être mesurée en [b]nœuds[/b], où[br][br][center][math]\boxed{1\text{ nœud} = 1 \text{ m.m.} / \text{h} = 1'/ \text{h}}[/math][/center]Un bateau se déplaçant à [math]5\text{ nœuds}[/math] franchit donc environ [math]5'[/math] d'arc de grand cercle en une heure et avance à une vitesse de [math]5\times 1 \text{ m.m.} / \text{h} = 9,27 \text{ km}/ \text{h}[/math].

Il faut remarquer que si un navire se déplace sur un méridien (donc en conservant une longitude constante), alors la distance orthodromique est la variation de sa latitude, puisqu'un méridien est la moitié d'un grand cercle. Par exemple, si le navire débute sa course sur un méridien avec une latitude de [math]67\degree \text{ N}[/math] et accoste à une latitude de [math]45\degree \text{ S}[/math], la distance orthodromique sera de[br][br][center][math]45\degree \text{ S} - 67\degree \text{ N}= -45\degree - 67\degree=-101\degree[/math][/center]le signe négatif indiquant qu'il se dirigeait vers le Sud. Il a donc parcouru[br][br][center][math]101\degree= 101\degree\times \frac{60'}{1\degree}=6060' = 6060\text{ m.m.}[/math][/center]Par contre, s'il se déplace sur un parallèle (donc en conservant une latitude constante), la distance parcourue n'est pas la distance orthodromique entre son point de départ et son point d'arrivée, puisqu'un parallèle est un petit cercle (à l'exception de l'équateur).

L'appliquette ci-dessous permet de constater l'écart de distance entre une trajectoire orthodromique (arc de grand cercle) et une trajectoire sur un parallèle (arc de petit cercle) reliant deux points [math]A[/math] et [math]B[/math] [[i]amusez-vous à déplacer ces deux points![/i]]. Il est important de remarquer que l'écart est d'autant plus marqué que les points s'éloignent ou que l'on s'approche des pôles.

Il faut de très longues distances pour se rendre compte de l'effet de la courbure de la Terre. Dans l'appliquette ci-dessous, l'on retrouve la Terre (idéalisée comme une sphère de rayon [math]6371\text{ km}[/math]). Vous pouvez faire varier l'angle [math]\theta[/math] ou le point [math]B[/math]. À mesure que le point [math]B[/math] s'approche du point [math]A[/math], l'arc de cercle s'approche de la corde et ces derniers deviennent à la limite confondus (zoomez sur le graphique afin de pouvoir rapprocher autant que vous le voulez les deux points). Vous remarquerez entre autres que la différence n'est que de [u]un mètre[/u] entre les mesures d'un arc et d'une corde mesurant chacun environ [math]100[/math] [u][b]kilo[/b]mètres[/u] !