Berechnen von Seitenlängen

Jetzt wollen wir umgekehrt, den Sinus, Kosinus und Tangens nutzen, um Seiten in einem Dreieck zu berechnen.

Die folgenden Übungen zeigen dir, wie das geht. [br][br]Im folgenden Beispiel soll die Länge der Seite c ausgerechnet werden, wenn die Winkel [math]\alpha[/math] und [math]\beta[/math] und die Seiten a und b bekannt sind. Dafür löst du nach c auf:

Beispiel 1:

Beispiel 2a)

In einem Dreieck sind die Länge b=7,4 cm und die Winkel [math]\gamma[/math]=90° und [math]\beta[/math]=48,1° gegeben. [br][br]Berechne die Länge der Strecke c. [br][br]Um die Aufgabe zu lösen, fertigen wir zunächst eine Skizze an:

Skizze:

Rechnung:

Wir stellen einen Zusammenhang auf, in dem c und die gegebenen Größen vorkommen: [br][br][math]\sin\left(\beta\right)=\frac{b}{c}[/math] bzw. [math]\sin\left(48,1°\right)=\frac{7,4}{c}[/math][br] Löse nun die Gleichung nach c auf.[br] Multipliziere dazu mit c, damit c nicht mehr im Nenner steht: [br][math]c\cdot\sin\left(48,1°\right)=7,4[/math][br] und teile durch [math]\sin\left(48,1°\right)[/math]:[br][math]c=\frac{7,4}{\sin\left(48,1°\right)}=9,9[/math] [cm][br]Antwort: Die Seite c ist also 9,9 cm lang. [br]

Beispiel 2b)

Wie lang ist in dem Dreieck aus Beispiel 2a) die Seite a?[br]Wir lösen die Aufgabe in mehreren Schritten "gemeinsam". [br][br][b]1. Schritt:[/b] Stelle ein Verhältnis auf, in dem a vorkommt. Welches Verhältnis ist richtig?

[math]\tan\left(48,1°\right)=\frac{a}{7,4}[/math] [math]\cos\left(48,1°\right)=\frac{7,4}{c}[/math] [math]\tan\left(48,1°\right)=\frac{7,4}{a}[/math] [math]\sin\left(48,1°\right)=\frac{7,4}{a}[/math]

[b]2. Schritt:[/b] Löse schrittweise nach a auf:[br]Welche Gleichung ist hier als Zwischenschritt richtig?

[math]7,4\cdot\tan\left(48,1°\right)=a[/math] [math]\tan\left(48,1°\right)=\frac{a}{7,4}[/math] [math]a\cdot\tan\left(48,1°\right)=7,4[/math]

[b]3. Schritt: [/b]Löse weiter nach a auf und berechne die Strecke a. [br]Welches Ergebnis ist richtig?

[math]a=\frac{\tan\left(48,1°\right)}{7,4}=[/math]6,2 [cm] [math]a=\frac{\tan\left(48,1°\right)}{7,4}=[/math]7,4 [cm] [math]a=\frac{7,4\text{}}{\tan\left(48,1°\right)}=[/math]9,9 cm [math]a=\frac{7,4}{\tan\left(48,1°\right)}=[/math]6,6 [cm]

Schriftliche Aufgabe 2:

Berechne in den folgenden beiden Apps A und B die unbekannte Größe. [br]Verfahre wie im Beispiel, um die Lösung zu berechnen.[br]Notiere dazu[b] im Heft[/b] den Rechenweg.[br]Du kannst dich in der App [b]am Ende[/b] kontrollieren oder dir auch Tipps einholen.

A

B

Noch nicht ganz verstanden?

Dann lass es dir von Lehrer Schmidt erklären! Der kann das! (Du findest das Video ganz unten auf der Seite.)

Schriftliche Aufgabe 3:

Bearbeite schriftlich im Heft: [br]* S. 176 Nr. 2ab; S. 172 Nr. 5[br]** Zeichne (mindestens) eines der vier Dreiecke selbst in Geogebra. Miss die Seitenlängen nach, um dich zu kontrollieren. Du kannst in der leeren App hier arbeiten.