[size=200][b][color=#38761d][size=150]0. Übersicht der Parameter | [math]a\cdot f\left(b\cdot\left(x+c\right)\right)+d[/math][/size][/color][/b][/size][br][br][b][u]Alle[/u] Graphen G[/b] eines zweidimensionalen Koordinatensystems können grundsätzlich [br]mithilfe von [b]4 Parametern [/b][u]verschoben[/u] bzw. [u]in ihrer Form verändert[/u] werden.[br][br]Man unterscheidet hier in [b]zwei Typen von Parametern[/b]:[br][br][br][b][u]I. verschiebende Parameter[/u][br][br] [/b] Hier gibt es die [b]Parameter [color=#6aa84f]d[/color] und [color=#1e84cc]c[/color][/b], welche den Graphen in dem Koordinatensystem [b]verschieben[/b].[br]  [br]  Der [b][color=#6aa84f]Parameter d[/color] [/b]verschiebt den Graphen [b]entlang der y-Achse[/b].[br]  Dies solltest du bereits von linearen Funktionen mit t kennen.[br][br]  Der [b][color=#1e84cc]Parameter c[/color][/b] hingegen verschiebt den Graphen [b]entlang der x-Achse[/b].[br]  [color=#a61c00][b]Wichtig[/b][/color] ist hierbei zu beachten, dass die Verschiebung hier [color=#a61c00][b]umgekehrt[/b][/color] als bei [color=#6aa84f]d[/color] geschieht.[br]  Setzt man also positive Werte für [color=#1e84cc]c[/color] ein, so wird der Graph nach links verschoben und umgekehrt.[br]  Ein Merkspruch hierfür wäre zum Beispiel:[br][br]    "Bei [color=#1e84cc]c[/color] funktioniert das, wie bei den Zehen: Auf dem Zahlenstrahl rechts, dann verschiebung nach links."[br][br][br][u][b]II. streckende bzw. stauchende Parameter[/b][/u][br][br]  Hier gibt es die [b]Parameter [color=#f1c232]a[/color] und [color=#ff0000]b[/color][/b], welche den Graphen entlang der Achsen [b]strecken[/b] bzw. [b]stauchen[/b].[br] [color=#a61c00][b]Wichtig[/b][/color] ist hierbei zu beachten, dass [math]a,b\in\mathbb{R}[/math][math]\setminus[/math][math]\left\{0\right\}[/math][br][br] Der [b][color=#f1c232]Parameter a[/color] [/b]streckt bzw. staucht den Graphen [b]entlang der y-Achse[/b].[br] Dies lässt sich dadurch erklären, dass die [b]Werte[/b] der eigentlichen Funktion [br] mit dem [color=#f1c232]Faktor a[/color][b] multipliziert[/b] werden.[br][br] Der [b][color=#ff0000]Parameter b[/color][/b] streckt bzw. staucht den Graphen [b]entlang der x-Achse[/b].[br] [color=#a61c00][b]Wichtig[/b][/color] ist hierbei zu beachten, dass das Strecken bzw. Stauchen hier [color=#a61c00][b]umgekehrt[/b][/color] als bei [color=#f1c232]a[/color] geschieht.[br] Setzt man also Werte < 1 für [color=#ff0000]b[/color] ein, so entfernen sich alle Werte um den Faktor [math]\frac{1}{b}[/math] von der y-Achse weg.[br][br][br][br][br][br]Hier mit dem Term [math]f\left(x\right)=a\left(\left(b\left(x+c\right)\right)^3+\left(b\left(x+c\right)\right)^2\right)+d[/math]:

[size=200][b][color=#38761d][size=150]1. Ganzrationale Funktionen | [math]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}...+a_2x^2+a_1x^1+a_0[/math][/size][/color][/b][/size] mit [math]a\in\mathbb{R}[/math] , [math]a_n\ne0[/math] & [math]n\in\mathbb{N}[/math][br][br][size=100]Ganzrationale Funktionen bzw. Polynomfunktionen (n-ten Grades)[br]können in einer Vielzahl verschiedener Formen auftreten. [/size][br]Alle besitzen jedoch folgende [b]grundlegende Eigenschaften[/b]:[br][br]- [b]Definitionsbereich[/b] [math]D_f=\mathbb{R}[/math][br]- [b]y-Achsenabschitt[/b] [math]f\left(0\right)=a_0[/math][br]- [b]Stetigkeit: [/b]stetig[br]- [b]Differenzierbarkeit: [/b]differenzierbar[br]- [b]Anzahl der Nullstellen[/b] max. gleich dem [b]Grad n[/b] [br][size=150][size=100][br]Generell gibt es hier [color=#9900ff][b]4 Spezialfälle[/b][/color]:[/size][/size]

[size=200][b][color=#38761d][size=150]1.1 Konstante Funktionen (n = 0) | [math]f\left(x\right)=k[/math][/size][/color][/b][/size][br][br]Graphen von Konstanten Funktionen sind [b]waagrechte Geraden parallel zur x-Achse[/b]. [br]Ihre Höhe wird von der [b][color=#6aa84f]Konstanten k[/color][/b] bestimmt.[br][br]- [b]Symmetrieverhalten: [/b]Achsensymmetrisch zur y Achse[br]- [b]Schnittpunkt mit der y-Achse:[/b] P ( 0 | k )

[size=200][b][color=#38761d][size=150]1.2 Lineare Funktionen (n = 1) | [math]f\left(x\right)=mx+t[/math][/size][/color][/b][/size][br][br][size=100]Die Graphen von Linearen Funktionen repräsentieren eine gerade Gerade auf dem Koordinatensystem. [b][br][color=#f1c232]Die Steigung m[/color][/b] gibt an, wie steil der Graph ist und der [b][color=#6aa84f]y-Achsenabschnitt t[/color][/b] gibt an, [br]wo der Graph die y-Achse schneidet.[br][br]- [b]Symmetrieeigenschaften:[/b] punktsymmetrisch zum Punkt P ( 0 | t )[br]- [b]Nullstelle:[/b] [math]x=\frac{-t}{m}[/math][br]- [b]Schnittpunkt mit der y-Achse:[/b] [/size]P[sub]s[/sub] ( 0 | t )

[size=200][b][color=#38761d][size=150]1.3 Quadratische Funktionen (n = 2) | [/size][/color][/b][size=150]Normalform: [/size][b][color=#38761d][size=150][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][/size][/color][/b][/size][br][br][size=100]Die Graphen von Quadratischen Funktionen nennt man [b]Parabeln[/b]. [br]Man unterscheidet grundsätzlich[b] 3 verschiedene Formen[/b] von Quadratischen Funktionen:[br][br]- [b]Normalform: [math]f_1\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br][/b]- [b]Scheitelpunktform: [/b][math]f_2\left(x\right)=a\left(x-d\right)^2+e[/math][br]- [b]Nullstellenform: [math]f_3\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)[/math][/b][br][br]Um von der Normalform zur Scheitelpunktform (oder umgekehrt) zu gelangen,[br]benötigt man die [b]2. binomische Formel: [math]\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2[/math][/b]. Hier ein [b]Beispiel[/b]:[br][br][math]f\left(x\right)=-2x^2+8x-3[/math][br][math]=-2\left(x^2-4x\right)-3[/math][br][math]=-2\left(x^2-2\cdot\left(-2\right)\cdot x+4-4\right)-3[/math][br][math]=-2\left(\left(x-2\right)^2-4\right)-3[/math][br][math]=-2\left(x-2\right)^2+8-3[/math][br][math]=-2\left(x-2\right)^2+5[/math][br][br]An der Scheitelpunktform kann man nun einige [b]Eigenschaften des Graphen[/b] ablesesen:[/size][br][br][size=100]- [b]Scheitelpunkt:[/b] P = ( [color=#0000ff]d[/color] | [color=#6aa84f]e[/color] )[br]- [b]Streckungsfaktor a:[/b] [/size][br] [math]\left|a\right|>1[/math] [math]\longrightarrow[/math] Parabel gestreckt [br] [math]\left|a\right|<1[/math] [math]\longrightarrow[/math] Parabel gestaucht[br]- [b]Öffnung: [/b][br] [math]a>0[/math] bzw. positiv [math]\longrightarrow[/math] Öffnung nach oben[br] [math]a<0[/math] bzw. negativ [math]\longrightarrow[/math] Öffnung nach unten[br][br]- [b]Symmetrieeigenschaften: [/b]Achsensymmetrisch zu [math]x=d[/math][br]- [b]Nullstellen: [/b]Scheitelpunkt P [b]≙[/b] doppeste Nullstelle, wenn P auf x-Achse ([math]e=0[/math])[br] Keine, wenn...[br] ... nach oben Verschoben ([math]e>0[/math]) & Öffnung nach oben ([math]a>0[/math])[br] ... nach unten Verschoben ([math]e<0[/math]) & Öffnung nach unten ([math]a<0[/math])[br][br][br][br]Je nach Situation benötigt man um die Nullstellen zu berechnen vielleicht die [b]Mitternachtsformel[/b]:[br][br] [math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br]Eine andere Möglickeiten bietet das [b]Ausklammern[/b]:[br][br] [math]ax^2+bx=x\left(ax+b\right)[/math]

[br][b][color=#1e84cc]Und falls das ein wenig zu kompliziert für dich war, hier ein Video von @Mathe - simpleclub:[/color][/b]

[size=200][b][color=#38761d][size=150]1.4 Potenzfunktionen (a[sub]n-1[/sub] = ... = a[sub]0 [/sub]= 0) | [math]f\left(x\right)=a_nx^n[/math][/size][/color][/b][/size] mit [math]n\in\mathbb{N}[/math][br][size=100][br][b]Der [color=#ffd966]Koeffizient a[/color] [/b]streckt den Graphen entlang der y-Achse und spiegelt ihn an der x-Achse, wenn [math]a<0[/math].[br]Anhand des[b] [color=#ff00ff]Exponenten n[/color] [/b]unterscheidet man Potenzfunktionen in [b]2 Fälle:[br][br][/b][/size]1. Wenn [b]n gerade:[br][/b][br]- Graph ist [b]parabelähnlich[/b] und [b]achsensymmetrisch zur y-Achse[/b]. [br]- Punkte P[sub]1[/sub] ( -1 | [color=#ffd966]a[/color]) und P[sub]2[/sub] ( 1 | [color=#ffd966]a[/color] )[br]- Bei...[br][br]... [math]a>0[/math] verläuft der Graph zudem durch den [b]1. & 2. Quadranten[/b], ist somit also [b]nach oben geöffnet[/b].[br] [math]\hookrightarrow[/math] [b]Wertebereich[/b] [math]W_f=\mathbb{R}^+_0[/math][br][br]... [math]a<0[/math] verläuft der Graph zudem durch den [b]3. & 4. Quadranten[/b], ist somit also [b]nach unten geöffnet[/b].[br] [math]\hookrightarrow[/math] [b]Wertebereich[/b] [math]W_f=\mathbb{R}^-_0[/math][br][br]2. Wenn [b]n ungerade[/b]: [br][br]- [b]Wertebereich[/b] immer [math]W_f=\mathbb{R}[/math][br]- Graph ist [b]"S-förmig" [/b]und[b] punktsymmetrisch zum Ursprung[/b]. [br]- Punkte P[sub]1[/sub] ( -1 | -[color=#f1c232]a[/color]) und P[sub]2[/sub] ( 1 | [color=#f1c232]a[/color] )[br]- Bei...[br] ... [math]a>0[/math] verläuft der Graph zudem durch den [b]1. & 3. Sektor[/b], verläuft also [math]\nearrow[/math][br][br] ... [math]a<0[/math] verläuft der Graph zudem durch den [b]2. & 4. Sektor[/b], verläuft also [math]\searrow[/math]

[size=200][b][color=#38761d][size=150]2. Gebrochen-rationale Funktionen | [/size][/color][/b][/size][math]\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}[/math] mit [math]p\left(x\right)\ne0[/math] und Grad von [math]q\left(x\right)[/math] min. 1[br]Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein[b] Quotient zweier Polynome [/b][math]p\left(x\right)[/math] und [b][math]q\left(x\right)[/math] [/b]ist, [br]heißt gebrochen-rationale Funktion. Alle besitzen folgende [b]Eigenschaften[/b]:[br][br]- [b]Definitionsbereich[/b] [math]D_f\approx\mathbb{R}[/math], [u]wobei[/u] die Nullstellen von [math]q\left(x\right)[/math] auszuschließen sind[br]- [b]Nullstellen[/b]: löse [math]p\left(x\right)=0[/math][br]- [b]Stetigkeit:[/b] stetig auf D[sub]f[/sub]- [b]Asymptoten[/b]: Diese können [b]senkrecht[/b],[b] waagrecht [/b]oder[b] schräg[/b] sein. [br] Wenn...[br][br]  ... [b]Zählergrad z < Nennergrad n[/b], hat der Graph eine [b]waagrechte Asymptote[/b] bei [math]y=0[/math][br][br] ... [b]Z[/b][b]ählergrad z = Nennergrad n[/b], hat der Graph eine waagrechte Asymptote mit [math]y\ne0[/math][br] Diese lässt sich durch die [b]Division der Leitkoeffizienten[/b] a[sub]n[/sub] der Polynomfunktionen berechnen:[br][br] [math]y=\frac{a_n^{p\left(x\right)}}{a^{q\left(x\right)}_n}[/math] [br][br] ... [b]Zählergrad[/b] [b]z = Nennergrad n + 1[/b], hat der Graph eine [b]schräge Asymptote[/b].[br] Zur Berechnung dieser benötigst du die Polynomdivision:

-[b]Polstellen[/b] oder [b]hebbare Definitionslücken[/b]

Eine Spezialform der gebrochen-rationalen Funktionen sind [b]elementare[/b] gebrochen-rationale Funktionen:

[size=200][b][color=#38761d][size=150]2.1 Elementare gebrochen-rationale Funktionen | [/size][/color][/b][/size][math]f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c[/math] mit [math]a,b,c\in\mathbb{R}[/math] & [math]a\ne0[/math][br][br]Die Graphen von elementaren gebrochen-rationalen Funktionen nennt man [b]Hyperbeln[/b].[br][br][b]Aufgaben der Parameter:[/b][br][br]- Der [b][color=#f1c232]Nenner a[/color][/b] [b]streckt[/b] bzw. [b]staucht[/b] den Graphen [b]entlang der y-Achse[/b].[br]- Der[b] [color=#6aa84f]Summand b[/color][/b] [b]verschiebt[/b] den Graphen [b]um [color=#6aa84f]b[/color] nach links[/b].[br]- Der [b][color=#1e84cc]Summand c[/color] verschiebt[/b] den Graphen [b]entlang der y-Achse[/b].[br][br]Nun lassen sich folgende [b]Eigenschaften[/b] erschließen:[br][br]- [b]Definitionsbereich[/b] [math]D_f=\mathbb{R}[/math][math]\setminus[/math][math]\left\{-b\right\}[/math][br]- [b]Polstelle[/b] mit Vorzeichenwechsel bei -[color=#6aa84f]b[/color][br]- [b]Wertebereich[/b] [math]W_f=\mathbb{R}[/math][math]\setminus[/math][math]\left\{c\right\}[/math][br]- [b]Asymptoten[/b] bei [math]x=-b[/math] und [math]y=c[/math][br]- [b]Stetigkeit[/b]: stetig auf D[sub]f[br][/sub]

[size=200][b][color=#38761d][size=150]3. Exponentialfunktionen | [math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math][/size][/color][/b][/size] mit [math]a\in\mathbb{R}^+[/math][math]\setminus[/math][math]\left\{1\right\}[/math][br][br]Die Graphen von Exponentialfunktionen nennt man [b]Exponentialkurven[/b].[br]Die [b]Besonderheit[/b] bei ihnen ist, dass [b]x der Exponent[/b] ist.[br][br]Der [color=#f1c232][b]Fakor b [/b][/color][b]streckt [/b]bzw. [b]staucht [/b]den Graphen [b]entlang der y-Achse[/b] [br]und [b]spiegelt[/b] ihn [b]an der x-Achse[/b], wenn [math]b<0[/math][br][br]Die [b][color=#741b47]Basis a[/color][/b] bewirkt den selben Effekt, aber [u]nicht[/u] direkt proportional.[br][color=#a61c00][b]Wichtig[/b][/color] ist, dass [b][color=#4c1130]a[/color] nicht [b]≤[/b] 0[/b] sein darf und den Graphen [b]an der y-Achse[/b] [b]spiegelt[/b], wenn [math]a<1[/math][br][br][br][br]Exponentialfunktionen besitzen grundlegend folgende [b]Eigenschaften[/b]:[br][br]- [b]Definitionsbereich[/b] [math]D_f=\mathbb{R}[/math][br]- [b]Wertebereich[/b] [math]W_f=\mathbb{R}^+[/math], wenn [color=#f1c232]b[/color] > 0[br] bzw. [math]W_f=\mathbb{R}^-[/math], wenn [color=#f1c232]b[/color] < 0[br]- [b][u]keine[/u] Nullstellen[br][/b]- [b]y-Achsenabschnitt[/b] bei y= [color=#f1c232]b[/color][br]- [b]Stetigkeit[/b]: stetig auf D[sub]f[/sub][br]- [b]Differenzierbarkeit: [/b]differenzierbar auf D[sub]f[/sub][br]- x-Achse als[b] waagreche[/b] [b]Asymptote[br][br][br][/b]Natürlich können die [b]Eigenschaften[/b] sowie der [b]Graph[/b] [br]durch die bei [b]0.[/b] erwähnten [b]Parameter verändert werden[/b]![br][br][br]Möchte man zu einem [b]Wert f(x)[/b] die [b]Stelle x[/b] berechnen, so benötigt man den [b]Logarithmus[/b]:[br][br][math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\frac{f\left(x\right)}{b}=a^x[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]log_a\left(\frac{f\left(x\right)}{b}\right)=x[/math]

[size=200][b][color=#38761d][size=150]4. Trigonometrische Funktionen | [math]f_1\left(x\right)=sin\left(x\right)[/math][/size][/color][/b][/size] oder [math]f_2\left(x\right)=cos\left(x\right)[/math][br][br]Die Graphen von trigonometrischen Funktionen sind grundsätzlich periodische "Wellen".[br]Die [b]Periode [/b]einer unveränderten Kosinus- und Sinusfunktion ist[b] 2[/b][b]π[/b].[br][br][math]sin\left(0\right)=0[/math], wohingegen [math]cos\left(0\right)=1[/math][br][br]Es lässt sich außerdem sagen, dass:[br][br] [math]sin\left(x+\frac{1}{2}\pi\right)=cos\left(x\right)[/math] & [math]sin\left(x\right)=cos\left(x-\frac{1}{2}\pi\right)[/math][br][br][b]sin(x)[/b] ist [b]punktsymmetrisch[/b] zum Ursprung, während [b]cos(x) achsensymmetrisch [/b]zur y-Achse ist.[br]Auf beide Funktionen treffen jedoch grundsätzlich diese [b]gemeinsamen[/b] [b]Eigenschaften[/b] zu:[br][br]- [b]Definitionsbereich[/b] [math]D_f=\mathbb{R}[/math][br]- [b]Wertebereich[/b] [math]W_f=\left[-1;1\right][/math][br]- [b]Periodenlänge [/b]von 2π[br]- unendlich viele [b]Nullstellen[/b] im Abstand der halben Periodenlänge[br]- [b]Stetigkeit[/b]: stetig[br]- [b]Differenzierbarkeit:[/b] differenzierbar[br][br]Natürlich können die [b]Eigenschaften[/b] sowie der [b]Graph[/b] [br]durch die bei [b]0.[/b] erwähnten [b]Parameter verändert werden[/b]!