Eine Ebene E im Raum ist eine zweidimensionale euklidische Punktebene im Raum. Geomnetrisch gleicht eine Ebene also der üblichen euklidischen Ebene. [br]Was heißt das?[br]Angenommen, wir kennen zwei Punkte A und B, die in dieser Ebene E liegen. Dann existiert nach Euklid genau eine Gerade r, die durch die beiden Punkte A und B verläuft. DIese Gerade liegt vollständig in der Ebene E. Eine Ebene ist also eine Art Kopie der euklidischen Ebene im Raum.

Eine Gerade wird durch die Angabe von zwei Punkten A und B auf ihr eindeutig bestimmt. Das weißt du bereits. Wie ist es nun für die Ebene?[br][br]Eine Ebene kann ganz ähnlich charakterisiert werden: [br][br][b](Vorläufiger) Satz:[/b][i][color=#0000ff]Zu 3 Punkten A,B und C aus dem Raum existiert eine eindeutige Ebene E, auf der die Punkte liegen[/color][/i] [br][br]Doch Vorsichtig! Ohne weitere Informationen zu den Punkten A,B,C ist diese Aussage nicht korrekt.[br]Man stelle sich dazu folgende Situation vor:[br]Auf wie vielen Beinen kann ein Tisch stehen? 4? Oder weniger?[br]Unsere Erfahrung sagt, dass ein Tisch mit drei Tischbeinen sehr wohl stabil stehen kann. Man betrachte dazu nur das Bild unten. Die Lage der Tischbeine unterstützt die Tischfläche. Die Stützpunkte beschreiben ein (bedachtes) Dreieck. [br]Würden die Tischbeine jedoch in einer Reihe montiert werden, wäre die Platte nicht mehr stabil. So ähnlich verhält es sich auch mit der Ebene im Raum. 3 Punkte auf einer Geraden stützen nicht eine, sondern unendlich viele Ebenen!

Nur wenn die Stützpunkte A,B,C der Ebene E ein Dreieck bilden, ist die Eindeutigkeit der Ebene gewährleistet. Die Punkte dürfen also nicht auf einer Geraden liegen. Damit erhalten wir den Satz:[br][br]Satz: [i][color=#0000ff]Zu 3 Punkten A,B und C, die nicht auf einer Geraden liegen, existiert eine eindeutige Ebene E, auf der die Punkte liegen.[/color][/i] [br][br] Im Folgenden sollen Bedingungen erarbeitet werden, die die Lage einer Ebene charakterisieren. Ähnlich wie bei den Geraden treffen wir dabei auf verschiedenen Darstellungsformen: [br][br][list][*]die Normalenvektorform, [/*][*]die allgemeine Form und [/*][*]die Parameterform einer Ebene. [/*][/list]

Die Lage einer Ebene E im Raum ist bestimmt durch die Orientierung eines Normalenvektors [math]\vec{n}[/math] und die Position eines speziellen Aufpunktes A auf der Ebene. Genauer gilt für jeden Punkt X der Ebene E: der Verbindungsvektor [math]\vec{AX}[/math] steht senkrecht zu einem Normalenvektor der Ebene :[br][math][/math]E: [math]\vec{AX}\ast\vec{n}=0[/math][br]Diese Charakterisierung haben wir bereits für Geraden in der Ebene gesehen. [br][b]Vorsicht! Hier charakterisiert die Bedingung keine Gerade, sondern eine Ebene![br][/b][br]Ähnlich wie bei Geraden kann aus der Normalenvektorform die allgemeine Form der Gerade leicht durch Ausmultiplizieren gewonnen werden. Wie das geht, zeigt das folgende Video[br]

Das Koordinatensystem lässt sich mit der Maus drehen. Spiele damit und stelle dir die Lage der Vektoren im Raum vor. [br][br]Du kannst auch den Stütz- und den Normalenvektor der Ebene verändern, indem du entweder auf die entsprechende Schaltfläche klickst oder indem du die Punkte P, bzw. A oder B mit der Maus veränderst. (Durch einen zweiten Klick auf einen der Punkte wechselt die "Verschiebbarkeit" von der x-y-Ebene in die z-Richtung).[br][br]Beachte die Bedeutung des Vektors [math]\left(\vec{x}-\vec{p}\right)[/math], der in der Konstruktion lila hervorgehoben ist (und vom Punkt P zum Punkt X zeigt). Nur wenn X ein Ebenenpunkt ist, steht dieser Vektor senkrecht zum Normalenvektor. (X kann nur innerhalb der Ebene verschoben werden).