Bir Fonksiyonun Tersinin Bileşke Fonksiyon ile İlişkisi
Bir Fonksiyonun Tersini Tanımlayalım:
ve iki küme, bir fonksiyon olsun. ve olmak üzere
ve
kümelerine sırasıyla kümesinin fonksiyonu altındaki görüntüsü ve kümesinin fonksiyonu altındaki ters görüntüsü denir.Ters Fonksiyonu Tanımlayalım:
ve iki küme, bir fonksiyon olsun. bir fonksiyon ise o zaman birebir ve örten bir fonksiyon olmak zorundadır (Neden?). birebir ve örten bir fonksiyon ve , olmak üzere 'in ters fonksiyonu:
,
şeklinde tanımlanır.1.) Yukarıda verilen tanımlardan hareketle aşağıda verilen fonksiyonların tersini bulunuz ve fonksiyon tanımını kullanarak tersinin bir fonksiyon belirtip belirtmediğini araştırınız.
a) , ve ,
b) fonksiyonunun Venn Şeması gösterimi aşağıda verilmiştir. 'i Venn Şeması üzerinde gösteriniz ve fonksiyon olup olmadığını belirtiniz.
c) , ve ,
2.) Bir fonksiyonun tersinin de bir fonksiyon olabilmesi için neden birebir ve örten olması gerektiğini açıklayınız.
Aşağıdaki applette, bir fonksiyonu verilmiştir. Bunun tersi olan 'nin grafiği gri renkte gösterilmiştir.
Bu uygulama bir fonksiyon ve tersi hakkında hangi ilişkiyi grafiksel olarak göstermektedir?
3.) Yukarıdaki kartezyen koordinat sisteminde bir (x,0) noktasını seçiniz ve sürgüyü kaydırınız. Verilen dinamikler size neyi gösterdi? (x,0) noktasını hareket ettirdiğinizde neler değişti?
4.) ve bağıntıları ile doğrusu arasında ne gibi bir ilişki fark ettiniz? fonksiyonunu farklı şekillerde tanımlayarak appleti inceleyiniz. (İpucu: Araçları kullanın.)
Herhangi bir bağıntı ile onun ters bağıntısı arasındaki ilişki hakkında herhangi bir sonuç çıkarabilir misiniz?
Not:
Her fonksiyonun aynı zamanda bir fonksiyon olan bir ters bağıntısı yoktur. Burada dinamik olarak gösterildiğini gördüğünüz ilke teknik olarak ters çevrilebilir fonksiyonlar için de geçerlidir (yani ters fonksiyonun gerçekten var olduğu fonksiyonlar). (Daha fazla bilgi için bu uygulamayı ziyaret edin.)
5.) , şeklinde tanımlanan bir fonksiyonunun tersi hakkında neler söylersiniz?
a) ve işlemlerini yapınız ve çıkan sonucu yorumlayınız.
b) denklemi size özel bir fonksiyonu hatırlattı mı? Bu fonksiyonu daha önce nasıl isimlendirdiğimizi hatırlayınız.
c) Bir fonksiyon ve tersinin bileşkesi fonksiyonu ile ilişkili midir? Nedenleriyle açıklayınız.