[b][color=#0b5394][size=100][size=150]Bir Fonksiyonun Tersini Tanımlayalım:[br][/size][/size][/color][/b][br][math]A[/math] ve [math]B[/math] iki küme, [math]f:A\longrightarrow B[/math] bir fonksiyon olsun. [math]X\subseteq A[/math] ve [math]Y\subseteq B[/math] olmak üzere [br][center][math]f\left(X\right)=\left\{f\left(x\right)\mid x\in X\right\}[/math] ve [math]f^{-1}\left(Y\right)=\left\{a\in A\mid f\left(a\right)\in Y\right\}[/math][/center]kümelerine sırasıyla [math]X[/math] kümesinin [math]f[/math] fonksiyonu altındaki görüntüsü ve [math]Y[/math] kümesinin [math]f[/math] fonksiyonu altındaki ters görüntüsü denir.
[b][color=#0b5394][size=100][size=150]Ters Fonksiyonu Tanımlayalım:[br][br][/size][/size][/color][/b][math]A[/math] ve [math]B[/math] iki küme, [math]f:A\longrightarrow B[/math] bir fonksiyon olsun. [math]f^{-1}[/math] bir fonksiyon ise o zaman [math]f[/math] [i]birebir[/i] ve [i]örten [/i]bir fonksiyon olmak zorundadır ([i]Neden?[/i]). [math]f[/math] birebir ve örten bir fonksiyon ve [math]a\in A[/math], [math]b\in B[/math] olmak üzere [math]f[/math]'in ters fonksiyonu:[br][center][math]f^{-1}:B\longrightarrow A[/math],[br][math]\left(a,b\right)\in f\Longleftrightarrow\left(b,a\right)\in f^{-1}[/math][/center][br]şeklinde tanımlanır.
[b][color=#0b5394]1.) [/color]Yukarıda verilen tanımlardan hareketle aşağıda verilen fonksiyonların tersini bulunuz ve [u]fonksiyon tanımını kullanarak[/u] tersinin bir fonksiyon belirtip belirtmediğini araştırınız. [/b]
[b][color=#45818e]a)[/color][/b] [math]A=\left\{-1,-2,-3,1,2,3,\right\}[/math],[math]B=\left\{1,2,3\right\}[/math] ve [math]f:A\longrightarrow B[/math],[br][math]f=\left\{\left(1,1\right),\left(-1,1\right)\left(2,2\right)\left(-2,2\right)\left(3,3\right)\left(-3,3\right)\right\}[/math]
[b][color=#45818e]b) [math]f[/math][/color][/b] fonksiyonunun Venn Şeması gösterimi aşağıda verilmiştir. [math]f^{-1}[/math]'i Venn Şeması üzerinde gösteriniz ve fonksiyon olup olmadığını belirtiniz.[br]
[b][color=#45818e]c)[/color][/b] [math]A=\left\{1,2,3,4,5\right\}[/math],[math]B=\left\{3,5,10,17,26\right\}[/math] ve [math]f:A\longrightarrow B[/math],[br][math]f=\left\{\left(1,3\right),\left(2,5\right)\left(3,10\right)\left(4,17\right)\left(5,26\right)\right\}[/math]
[color=#0b5394][b]2.)[/b][/color] [b]Bir fonksiyonun tersinin de bir fonksiyon olabilmesi için neden [u]birebir[/u] ve [u]örten[/u] olması gerektiğini açıklayınız. [/b]
Aşağıdaki applette, bir[math]f[/math][b] fonksiyonu [/b]verilmiştir. [color=#666666][b]Bunun [/b][/color][b][color=#666666]tersi olan [math]f^{-1}=g[/math]'nin grafiği gri renkte gösterilmiştir. [/color][/b][br][br][color=#0000ff][b]Bu uygulama bir fonksiyon ve tersi hakkında hangi ilişkiyi grafiksel olarak göstermektedir? [br][/b][/color]
[b][color=#0b5394]3.)[/color] Yukarıdaki kartezyen koordinat sisteminde bir (x,0) noktasını seçiniz ve sürgüyü kaydırınız. Verilen dinamikler size neyi gösterdi? (x,0) noktasını hareket ettirdiğinizde neler değişti? [/b]
[b][color=#0b5394]4.)[/color][/b][math]f[/math][b] ve [/b][math]f^{-1}[/math][b] bağıntıları ile [/b][math]y=x[/math][b] fonksiyonu arasında ne gibi bir ilişki fark ettiniz? [/b] [math]f[/math][b] fonksiyonunu farklı şekillerde tanımlayarak appleti inceleyiniz. [/b](İpucu: Araçları kullanın.)
[b][color=#3c78d8]Herhangi bir bağıntı ile onun ters bağıntısı arasındaki ilişki hakkında herhangi bir sonuç çıkarabilir misiniz? [/color][/b]
Bir bağıntının y=x doğrusuna göre yansıması o bağıntının tersini verir.
[b][color=#ff0000]Not: [/color][/b][br][br][b][color=#ff0000]Her fonksiyonun aynı zamanda bir fonksiyon olan bir ters bağıntısı yoktur.[/color][/b] Burada dinamik olarak gösterildiğini gördüğünüz ilke teknik olarak ters çevrilebilir fonksiyonlar için de geçerlidir (yani ters fonksiyonun gerçekten var olduğu fonksiyonlar). (Daha fazla bilgi için [url=https://www.geogebra.org/m/euwc94ar][color=#0000ff]bu uygulamayı ziyaret edin[/color].[/url]) [br]
[color=#0b5394][b]5.) [/b][/color][math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math][b], [/b][math]f\left(x\right)=3x-3[/math][b] şeklinde tanımlanan bir [/b][math]f[/math][b] fonksiyonunun tersi hakkında neler söylersiniz?[/b]
[math]f^{-1}:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math], [math]f^{-1}\left(3x-3\right)=x\Longrightarrow f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+3}{3}[/math] şeklindeki bir fonksiyondur.
[color=#45818e][b]a)[/b] [math]f^{-1}\circ f[/math][/color]ve [math]f\circ f^{-1}[/math] işlemlerini yapınız ve çıkan sonucu yorumlayınız.
[b][color=#45818e]b)[/color][/b] [math]y=x[/math] denklemi size özel bir fonksiyonu hatırlattı mı? Bu fonksiyonu daha önce nasıl isimlendirdiğimizi hatırlayınız.
[b][color=#45818e]c)[/color] [/b]Bir fonksiyon ve tersinin bileşkesi [math]y=x[/math] fonksiyonu ile ilişkili midir? Nedenleriyle açıklayınız.