Dada una función de dos variables, [math]f[/math], la derivada direccional de [math]f[/math] en el punto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math], en la dirección [math]v[/math] ([math]v[/math] vector unitario) es la variación infinitesimal de [math]f[/math] en [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] en la dirección dada por [math]v[/math].[br][br]Gráficamente, la derivada direccional de [math]f[/math] en el punto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math], en la dirección [math]v[/math], es la pendiente de la recta tangente a la gráfica que se obtiene al intersecar la gráfica de [math]f[/math] con un plano vertical que interseca al plano horizontal en una recta que pasa por [math]\left(x_{0,}y_0\right)[/math] con dirección [math]v[/math]. teniendo en cuenta la dirección de [math]v[/math] (es decir, en la recta tangente se considera la dirección inducida por [math]v[/math]).[br][br]La derivada direccional de [math]f[/math] en [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] con dirección [math]v[/math] se escribe, [math]D_vf\left(x_{0,}y_0\right)[/math] y se puede calcular mediante el producto escalar:[br][br][math]D_vf\left(x_{0,},y_0\right)=v\cdot\nabla f\left(x_{0,}y_0\right)[/math]. [br][br]El vector [math]v[/math] ha de ser unitario para que no aporte magnitud a la derivada direccional y únicamente indique la dirección en la que la derivada se toma.[br][br]Si [math]v=\binom{1}{0}[/math] entonces la derivada direccional con dirección [math]v[/math] en [math]\left(x_{0,}y_0\right)[/math] es la derivada parcial [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0,}y_0\right)[/math].[br]Si [math]v=\binom{0}{1}[/math] entonces la derivada direcconal con dirección [math]v[/math] en [math]\left(x_{0.}y_0\right)[/math] es la derivada parcial [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)[/math].

En la construcción se muestra la gráfica de una función [math]f[/math] de dos variables con dominio rectangular. A la derecha, en la parte superior de la construcción se muestra un punto en blanco en el dominio el punto [math]\left(x_0.y_0\right)[/math]. El punto se puede mover arrastrándolo sobre el dominio. Al moverlo, en la parte inferior de la construcción, se puede ver cómo se mueve en el plano horizontal y también el correspondiente punto [math]P=\left(x_{0,}y_{0,}f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math] sobre la gráfica. [br][br]En la parte superior de la construcción, a la izquierda, el punto en gris sobre la circunferencia de radio 1 y el centro de la circunferencia definen un vector unitario [math]v[/math]. El vector unitario se cambia moviendo el punto gris sobre la circunferencia. A la derecha en la parte superior, se puede ver sobre el dominio rectangular azul, la recta amarilla que pasa por [math]\left(x_{0,}y_0\right)[/math] con dirección [math]v[/math] (la dirección está indicada mediante una flecha). En la parte inferior de la construcción se puede ver la misma recta en el plano horizontal, y también en amarillo la recta tangente a la gráfica (curva amarilla) que es intersección de la gráfica de [math]f[/math] con el plano vertical (azul-grisáceo) que corta al plano horizontal en la recta amarilla. Nótese que las dirección de la recta tangente a la gráfica de [math]f[/math] viene inducida por la dirección [math]v[/math] de la recta en el plano horizontal. [br][br]En la parte superior izquierda también se puede ver el valor concreto de la derivada direccional de la función [math]f[/math] en el punto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] con dirección [math]v[/math]. El rectángulo que es dominio de la función y la función se pueden cambia en las casillas correspondientes.[br][br]Al pulsar el botón "Parcial con respecto a x" el vector [math]v[/math] toma valor [math]v=\binom{1}{0}[/math] (la dirección y sentido del eje [math]x[/math]) y la derivada direccional con esa dirección es precisamente la derivada [math]\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)[/math]. De manera análoga, al pulsar el botón "Parcial con respecto a y" el vector [math]v[/math] toma el valor [math]v=\binom{0}{1}[/math] (la dirección y sentido del eje [math]y[/math]) y la derivada direccional es precisamente la derivada [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)[/math].