Folgen sind Funktionen mit eingeschränktem Definitionsbereich; die Begriffe [b]beschränkt[/b] und [b]monoton [/b]treten daher auch bei Folgen auf. Insbesondere haben sie eine grosse Bedeutung bei unendlichen Folgen: Hier interessiert uns vor allem das Verhalten für grosse n bzw. was geschieht, wenn n gegen Unendlich geht.[br]Eine Zahlenfolge heisst nach [b]oben(unten) beschränkt[/b], wenn es eine Zahl K(k) gibt, so dass für alle Glieder a[sub]n[/sub] gilt: a[sub]n[/sub] < K (a[sub]n[/sub] > k).[br]Eine Folge heisst [b]beschränkt[/b], wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.[br]Den Begriff [b]Monotonie[/b] haben wir bereits kennen gelernt. Wenn er dir nicht mehr geläufig ist, schaue im F & T oder im Internet nach.[br][br][br]
In folgendem Applet kannst du 4 Beispiele grafisch untersuchen auf Monotonie und Beschränktheit:[br][br]Beispiel 1: a[sub]n[/sub] = 2 - [math]\frac{1}{2^{n-1}}[/math][br]Beispiel 2: b[sub]n[/sub] = (-1)[sup]n[/sup] [math]\cdot\frac{1}{n}[/math][br]Beispiel 3: c[sub]n [/sub]= n - [math]\frac{1}{n}[/math][br]Beispiel 4: d[sub]n[/sub] = (-2)[sup]n[/sup][br][br][br]1. Suche von jeder Folge - wenn möglich - die obere bzw. die untere Schranke.[br]2. Ist die Folge monoton wachsend oder fallend?[br]3. Gibt es einen Grenzwert, wenn n unendlich gross wird?[br][br]
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Bei monoton zunehmenden und beschränkten Folgen ist von allen oberen Schranken die kleinste von Interesse. Ihr nähert sich die Folge mit wachsendem n immer besser an. Eine solche Schranke nennt man deshalb auch [b]Grenzwert[/b].
[size=100][list][*][size=100]Folgen mit dem Grenzwert 0 heissen [b]Nullfolgen[/b].[/size][/*][*]Eine Zahlenfolge hat höchstens einen Grenzwert. [/*][*]Folgen, die einen Grenzwert haben, nennt man auch [b]konvergente [/b]Folgen. [/*][*]Folgen ohne Grenzwert nennt man [b]divergente [/b]Folgen.[/*][/list][/size][br]
