[br]a) Quando o controle deslizante [b]a[/b] é manipulado o elipsoide sofre deformações (estica ou encolhe) no sentido do eixo x. Quanto maior é o valor absoluto de [b]a[/b], mais esticado o elipsoide fica na direção do eixo x, quanto mais próximo de zero o valor de [b]a[/b], mais achatado ele se torna no sentido do eixo x, lembrando cada vez mais a forma de um disco. O elipsoide deixa de estar definido quando [b]a[/b] é igual a zero. Para [b]b[/b] e [b]c[/b] o comportamento é análogo, mas nos sentidos dos eixos y e z, respectivamente.[br][br]b) O elipsoide se transforma em uma esfera de raio [b]a[/b].[br][br]c) Sim, os valores de [b]a[/b], [b]b[/b] e [b]c [/b]correspondem a metade do valor dos eixos do elipsoide no sentido dos eixos x, y e z, respectivamente.

[br]a) A figura gerada é, em todos esses casos, uma elipse. Sendo assim, como qualquer corte feito no elipsoide gera essa cônica, o nome elipsoide se justifica.[br][br]b) O resultado são os pontos (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c), nessa ordem, que são vértices do elipsoide. O resultado é coerente com a interpretação algébrica, feita quando substituímos os valores na equação, pois, por exemplo, ao fazermos x=a na equação, a equação do elipsoide se transforma em c²y² + b²z² = 0 que, só é verdadeira quando y=z=0.[br][br]c) Nesse caso não há interseção do plano com o elipsoide, o que é coerente com o resultado algébrico, já que colocando a equação do elipsoide na forma y²/b²+z²/c²=1-x²/a² observamos que para |x|>|a| o segundo membro se tornaria negativo enquanto o primeiro membro só pode ser positivo ou nulo, sendo, portanto, o conjunto-solução da equação o conjunto vazio.

[br]a) Porque são formados por apenas uma superfície totalmente conectada, no caso do hiperboloide de uma folha, ou por duas superfícies que não se conectam, no caso do hiperboloide de duas folhas.[br][br]b) Sim. Quando a equação está na forma canônica, na qual um dos membros é igual a 1, o tipo do hiperboloide está associado a quantidade de termos com sinal negativo no outro membro: um sinal negativo gera o hiperboloide de uma folha, enquanto dos sinais negativos produzem o de duas folhas.[br][br]c) Sim. No caso dos hiperboloides, quando consideramos os três termos nos quais aparecem as variáveis x, y e z, um deles terá sempre sinal diferente dos outros dois e é este termo que indica qual é o eixo do hiperboloide que procuramos.

[br]a) Porque uma das cônicas obtidas quando essas superfícies são intersectadas por planos são parábolas.[br][br]b) Porque, além de parábolas, outra cônica obtida quando os paraboloides são intersectados por planos são elipses, no caso do paraboloide elíptico, e hipérboles, no caso dos paraboloides hiperbólicos.[br][br]c) No caso do paraboloide elíptico, os dois termos quadráticos puros que aparecem na equação canônica possuem o mesmo sinal, enquanto que, no caso do paraboloide hiperbólico, estes possuirão sinais diferentes.

[br]a) Indica qual o eixo de simetria do paraboloide.[br][br]b) O sentido da concavidade do paraboloide elíptico, que será o mesmo do eixo de simetria quando todos os termos tiverem o mesmo sinal e o sentido oposto ao do eixo de simetria quando o termo linear tiver sinal diferente do sinal dos termos quadráticos.

[br]a) Sim.[br][br]b) A interseção deles é o eixo z, sendo que z é a variável do termo linear.[br][br]c) Não.

[br]Na verdade, essa denominação até poderia existir para diferenciar os hiperboloides elípticos de um "hiperboloide parabólico" (uma superfície que produziria hipérboles e parábolas quando seccionada por planos). Todavia, embora exista essa superfície que gera hipérboles e parábolas, ela recebe a denominação de paraboloide hiperbólico, tornando assim desnecessário o uso do termo elíptico, já que o termo hiperboloide ficou reservado apenas para as quádricas que geram hipérboles e elipses quando seccionadas.

[br]Observe que levando x para o segundo membro na equação desse hiperboloide de duas folhas, que tem o eixo x como eixo de referência, e depois multiplicando a equação por -1, obtemos a equação [math]\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{0,25}=x^2-1[/math]. Essa equação pode ser interpretada como a equação de uma elipse contida em um plano paralelo ao plano yOz, distando dele [math]\left|x\right|[/math] (para se convencer disso, desabilite a opção [b]rastro x[/b], clique no botão limpar rastro, habilite a opção [b]yOz[/b] e movimente o controle deslizante [b]x[/b]). Note que o plano é obtido quando pensamos em um valor fixo de x. Com x fixado, o segundo membro da equação passa a ser uma constante. Assim, dividindo a equação por essa constante, a equação da elipse fica em sua forma canônica, com 1 no segundo membro e as raízes quadradas dos denominadores no primeiro membro fornecendo as medidas dos semi-eixos da elipse. Note que quanto maior for o valor absoluto de x (já que x está elevado ao quadrado), maior será o número no segundo membro da equação, pelo qual a equação toda será dividida e, portanto, maiores serão os denominadores no segundo membro e consequentemente os eixos da elipse. Assim, fazendo x variar de -5 a -1, as elipses tornar-se-ão menores e ao variar x entre 1 e 5, as elipses ficam maiores. Note que para x=1 ou x=-1 temos o segundo membro igual a zero e consequentemente, como as parcelas no primeiro membro nunca são negativas, teremos y=z=0, o que nos fornece os pontos (1, 0, 0) e (-1, 0, 0). Além disso, quando -1<x<1, o segundo membro é negativo e, assim, a equação fica sem solução, já que, como já dissemos, os termos no primeiro membro da equação nunca são negativos.

[br]Uma análise similar a que foi feita na questão anterior nos conduz a resposta desta questão, pois fazendo z constante e diferente de zero na equação desta quádrica obtemos, ao dividir a equação por 5z a equação canônica de uma hipérbole contida em um plano paralelo ao plano xOy. Com z<0 teremos o termo em y positivo e consequentemente os focos estarão em uma reta paralela ao eixo y (contida no plano x=0). Por outro lado, quando z>0 teremos o termo em x positivo e consequentemente os focos estarão em uma reta paralela ao eixo x (contida no plano y=0). Finalmente, quando z=0 ficamos com a equação x²=4y²/9. Ao extrairmos a raiz quadrada de ambos os membros dessa equação obetemos as equações de duas retas concorrentes 3x-2y=0 e 3x+2y=0.

[br]Cada uma das parábolas obtidas pela movimentação do controle deslizante x é obtida fazendo x constante, de modo que o termo quadrático em y tem coeficiente negativo. Como é este coeficiente que determina a concavidade de cada uma das parábolas dessa família de curvas, estas terão a sua concavidade voltada para baixo. A análise é análoga para a família obtida pela movimentação do controle deslizante y. Nesse caso teremos parábolas cujo coeficiente do termo quadrático (agora o termo em x) será positivo, fazendo com que todas as parábolas tenham a concavidade voltada para cima.