Grundvorstellungen Ableitung

[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] [b][color=#095EBC][size=150]Nutzungshinweise zum Applet[/size][/color][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Setzen Sie Häkchen in den Kästchen, um die jeweiligen Objekte im Graphen einzuzeichnen.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Die [color=#E31B4C][b]roten[/b][/color] Punkte lassen sich entlang der x-Achse verschieben.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Mit den schwarzen Schaltflächen [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_1.png[/img] ... lässt sich die Funktionsgleichung ändern. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Im Eingabefeld oben rechts kann ein beliebiger Funktionsterm eingegeben werden.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Klicken oben rechts im Applet auf [img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/ggb/neu_laden.jpg[/img] setzt das Applet auf den Ausgangszustand zurück. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/ggb/vollbild.jpg[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.

App Steigung Funktionsgraph

1. Vorwissen aktivieren – Steigung einer Geraden

Bevor wir die Steigung eines gekrümmten Graphen untersuchen, erinnern wir uns an die Steigung einer Geraden. Die Steigung beschreibt, wie stark eine Gerade steigt oder fällt.[br]Stelle im Applet eine Gerade ein. Verändere ihre Lage und beobachte die Steigung.[br]Wann ist die Steigung positiv, wann negativ und wann gleich null?

Frage 1

Welche Aussage ist richtig?

Eine steigende Gerade hat eine positive Steigung. Jede Gerade hat die Steigung 1. Eine fallende Gerade hat eine positive Steigung. Eine waagerechte Gerade hat eine negative Steigung.

3. Sekanten nähern sich der Tangente

Nutze für diese Aufgabe die Ansicht [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_2.png[/img]. Eine Sekante verläuft durch zwei Punkte des Graphen. Wenn der zweite Punkt immer näher an den ersten heranrückt, nähert sich die Sekante der Tangente in diesem Punkt an.[br]Verschiebe den zweiten Punkt im Applet immer näher an den ersten heran. Beobachte die Sekante und ihre Steigung. Was passiert mit der Sekantensteigung, wenn der zweite Punkt immer näher am ersten liegt?

Die Sekantensteigung nähert sich der Tangentensteigung an. Die Sekantensteigung wird immer kleiner. Die Sekante verschwindet sofort. Die Sekantensteigung wird immer größer.

3. Von der Geraden zur Kurve

Nutze für diese Aufgabe die Ansicht [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_2.png[/img]. Bei einer Kurve ist die Steigung nicht überall gleich. Deshalb betrachten wir die Steigung nicht am ganzen Graphen, sondern [b]an einer bestimmten Stelle[/b].[br]Verschiebe die roten Punkte auf der x-Achse. Beobachte, wie sich die Tangente verändert. [br]Was passiert mit der Tangente, wenn du den Punkt an eine andere Stelle des Graphen verschiebst?

4. Beispiel im Applet x_0=2

Im Applet wird unter anderem die Funktion[br][math]f(x)=\frac{1}{8}x^2+1[/math][br]betrachtet.[br][br]Wir untersuchen die Tangentensteigung an der Stelle [math]x_0=2[/math].[br]Stelle im Applet den Punkt auf x0=2x_0=2. Lies die Tangentensteigung ab oder nähere sie über Sekantensteigungen an. Welche Tangentensteigung ergibt sich ungefähr bei x0=2x_0=2?

1 2 [math]\frac{1}{2}[/math] 0

5. Reflexion

Was bedeutet [math]f'(2)=\frac{1}{2}[/math] graphisch?

Der Graph hat bei x=2x=2 den Funktionswert 12\frac12. Die Sekante hat immer die Steigung 12\frac12. Die Tangente bei x=2x=2 hat die Steigung 12\frac12. Die Funktion hat bei x=2x=2 eine Nullstelle.

Erkläre den Unterschied zwischen Sekante und Tangente in eigenen Worten.

Quellenangabe

Das Applet wurde erstellt von Jürgen Roth

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