Exponentielle Prozesse findet man auch in der außenmathematischen Welt überall. Ein klassisches Beispiel dafür liefert der Bierschaumzerfall. Doch wie zeigt man eigentlich, dass Bierschaum exponentiell zerfällt?[br][br]Wir bedienen uns dazu am Prinzip der [b][color=#6aa84f]Modellierung[/color]. [/b]Das bedeutet einfach nur, dass wir nach einem passenden mathematischen Modell, z.B. einer passenden Funktion, für gegebene Daten suchen.[br][br]Sieh dir das folgende Video zum Bierschaumzerfall an und trage jeweils die Werte zur Pause in die Tabelle darunter ein. Vorsicht: Bierschaum zerfällt von unten und oben.[br][br][size=85][size=50](Die Einschenkünste des Videouploaders lassen wir unkommentiert...)[/size][/size]

Das Applet nähert deine Daten ([color=#999999]graue Punkte[/color]) einer Exponentialfunktion ([color=#ff0000]rot[/color]) an. Der Funktionsterm wird dir unter dem Wort Regressionsmodell angezeigt.[br][br]Natürlich entspricht sie den Werten nicht perfekt. Das liegt zum einen daran, dass die Natur nicht perfekt funktioniert und zum anderen an der Ablesgenauigkeit.[br][br]Dieses Werkzeug heißt [b][color=#93c47d]Regression[/color][/b]. Du kannst im Applet auch mal das Regressionsmodell "linear" statt "exponentiell" auswählen. Du wirst sehen, dass die Exponentialfunktion hier am besten passt.

[size=150][color=#93c47d]Warum brauche ich das überhaupt?[br][/color][/size][br]Man versucht die Natur an mathematische Modelle anzupassen. Sie sind wichtige Hilfsmittel um reale Vorgänge, wie z.B. auch die Verbreitung von Krankheiten oder Bevölkerungszahlen, beschreiben zu können. So kann man Prognosen für zukünftige Entwicklungen erstellen.[br][br]Natürlich haben Modelle immer ihre Grenzen. Zum Beispiel kann die Entdeckung des Corona-Impfstoffes die Verbreitung des Virus verlangsamen. Genauso können Anlässe wie Weihnachten die Infektion anfeuern. Deswegen werden mathematische Modelle immer wieder überarbeitet.

Anhand dieser Daten können wir verschiedene Vorhersagen treffen. Dieses Beispiel halten wir in einem Hefteintrag fest. Die Tabelle zum Einfügen oder Einkleben findest du im heutigen Cloudordner.[br][br]Übertrage diesen Hefteintrag in dein Schulheft und schau dir das Erklärvideo dazu an. Dort erfährst du auch wie du eine Regression mit dem CAS-Rechner durchführen kannst.

Halte in deinem Heft folgende Untersuchungen fest und schicke mir anschließend ein[color=#6aa84f] Bild deiner Ergebnisse via Chat[/color].[br][br]1. Gib eine Exponentialfunktionsterm an, der den Wachstum der Weltbevölkerung in Abhängigkeit des [br] Jahres modelliert.[br][br]2. Erkläre, wo die Genauigkeit dieses Funktionsterms Grenzen hat.[br][br]3. Bestimme, wann laut deinem Modell die 8-Milliarden-Menschen-Marke geknackt werden würde und [br] kommentiere die Genauigkeit dieses Ergebnisses.[br][br][br][br]Damit hast du es für heute geschafft. Nächste Stunde beschäftigen wir uns mit der Modellierung ohne CAS-Rechner.