Unidad 2. Variación lineal
Variación lineal
Table of Contents
- Introducción
- El tinaco
- Variación Lineal
- Pendiente
- Ecuación de una variación lineal
- De la ecuación a la tabla
- De la ecuación a la gráfica
- De la gráfica a la ecuación
- De la tabla a la ecuación
- Variación directamente proporcional
- La longitud de la circunferencia
- Variación directamente proporcional
- Ángulo de inclinación
- Ángulo de inclinación y rectas crecientes y decrecientes
- Ecuaciones de rectas verticales y horizontales
El tinaco
En la naturaleza existen fenómenos que se pueden describir por medio de las relaciones que se establecen entre diferentes magnitudes. Es muy importante determinar cuáles de estas magnitudes cambian con respecto a otras y cuáles permanecen constantes. A las que cambian las denominaremos [b]variables[/b] y a las que no, [b]constantes[/b].[br][br]Cuando el cambio de una variable depende del cambio de otra, a la primera se la llama [b]variable dependiente[/b] y a la segunda, [b]variable independiente[/b].[br][br]Se acostumbra representar a la variable dependiente con [math]y[/math][img width=8,height=16]file:///C:/Users/i/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png[/img]y a la variable independiente con [math]x[/math], pero se puede utilizar cualquier otra letra para identificarlas.[br][br]No siempre es claro identificar cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente. La elección depende de cómo se ha planteado el problema, es decir, depende de cuál de las dos variables es la que se puede controlar.
[size=150][color=#980000]Variables dependiente e independiente[br][/color][/size][br]¿Cuál es la [b]variable dependiente[/b] en la situación del tinaco y con qué unidades se mide?
¿Cuál es la [b]variable independiente[/b] en la situación del tinaco y con qué unidades se mide?
[color=#9900ff][size=150]Selecciona en el applet:[br][i][br]Presión del agua: [/i] 20 litros/hora [br][br][i]Volumen inicial:[/i] 60 litros.[br][br]Mueve el deslizador [i]Tiempo[/i] y observa lo que sucede. Contesta las siguientes cuatro preguntas basándote en esos valores.[br][/size][/color][br]¿Cuál es la cantidad de agua que habrá en el tinaco al cabo de 2 horas?
¿Al cabo de cuánto tiempo el tinaco tendrá 200 litros?
¿Puedes calcular cuál es la cantidad de agua que tendrá al cabo de 10 horas?
¿Puedes calcular al cabo de cuánto tiempo el tinaco estará lleno (400 litros)?[br]
Reinicia el applet. Cambia los valores de la presión y del volumen inicial y traza algunas gráficas.
¿Qué sucede con el llenado del tinaco al aumentar la presión del agua?
¿Qué sucede con el llenado del tinaco al cambiar la cantidad inicial de agua?
La cantidad inicial de agua, ¿afecta a la velocidad con la que se llena el tinaco?
Observa las gráficas que se forman. ¿Qué forma tienen?
Reinicia el applet. Selecciona una cantidad inicial de agua fija (50 litros) y cambia la presión del agua (10l/h, 20l/h, 30l/h, …). Traza al menos tres o cuatro gráficas.
[size=150][color=#0000ff]Cuando seleccionamos una cantidad inicial de agua fija (50 litros) y cambiamos la presión del agua (10l/h, 20l/h, 30l/h, …):[/color][/size][br][br]¿Cómo son las gráficas entre sí? ¿Qué tienen en común y en qué se diferencian?
Reinicia el applet. Selecciona una cantidad fija para la presión del agua (30l/h) y cambia la cantidad de agua inicial (0l, 50l, 150l, 200l, …). Traza al menos 3 o 4 gráficas.
[color=#1e84cc][size=150]Cuando seleccionamos una cantidad fija para la presión del agua (por ejemplo, 30l/h) y cambia la cantidad de agua inicial (0l, 50l, 150l, 200l, …):[/size][br][/color][br]¿Cómo son las gráficas entre sí? ¿Qué tienen en común y en qué se diferencian?
Reinicia el applet. Selecciona Volumen inicial igual a 0 litros.
[size=150][color=#38761d]Cuando seleccionamos el [i]Volumen inicial[/i] igual a 0 litros.[/color][/size][br][br]¿Cómo está el tinaco inicialmente? ¿Qué observas que sucede en el tinaco al llenarlo?
¿Cómo son las gráficas que aparecen al cambiar la presión del agua?
Reinicia el applet. Selecciona que la Presión inicial del agua sea igual a 0 litros por hora.
[size=150][color=#ff0000]Cuando seleccionamos que la [i]Presión inicial del agua [/i]sea igual a 0 litros por hora.[/color][/size][br][br]¿Qué sucede en el tinaco al llenarlo? ¿Por qué?
¿Cómo son las gráficas que aparecen al cambiar la cantidad inicial de agua con la presión del agua igual a 0 litros/hora?
Reinicia el applet. Selecciona el volumen inicial a 400l (el tinaco lleno).
[color=#ff7700]Imagina que tienes el tinaco lleno (400 litros) y quisieras vaciar el tinaco en vez de llenarlo[/color][br][br]¿Qué crees que deberías modificar de los valores de applet para conseguirlo? Haz varios ejemplos y explica qué sucede.
¿Cómo son las gráficas cuando la presión del agua es negativa?
[b][size=150][color=#bf9000]Cierre[br][/color][/size][/b][br]Explica cómo calcularías la cantidad de agua que tendrá el tinaco en un determinado momento dependiendo de los valores de la presión del agua y de la cantidad de agua inicial del tinaco.
¿Puedes escribir lo anterior en una fórmula?
Pendiente
Formas de representación de la variación entre dos variables
Se puede representar la relación entre dos variables mediante [u][b]tablas[/b][/u], [u][b]ecuaciones[/b][/u] o [b][u]gráficas[/u][/b]. [br][br]Para hacer una representación gráfica es necesario establecer un marco de referencia llamado [b]plano cartesiano [/b]o [b]sistema de ejes de coordenadas[/b]. Este plano está formado por dos ejes perpendiculares. Cada eje representará a una de las dos variables.[br][br]Al eje horizontal se le conoce como [i]Eje X[/i] o eje de las [b]abscisas[/b], mientras que al eje vertical se le conoce como [i]Eje Y[/i] o eje de las [b]ordenadas[/b].[br][br]Podemos representar los datos de una tabla como [b]parejas ordenadas[/b] [math]\left(x,y\right)[/math], y éstas, a su vez, representan puntos en el plano cartesiano. Las parejas ordenadas se forman colocando dentro de un paréntesis,[br]primero, la variable independiente, [math]x[/math] (abscisa), después, la variable dependiente, [math]y[/math] (ordenada), separadas por una coma.[br][br]La escala que se escoge en el eje de las [math]y[/math] debe ser igual a la escogida en el eje [math]x[/math], pero para poder disminuir las dimensiones de una gráfica, en ocasiones y por conveniencia, se utilizan dos tipos de escalas diferentes.
Mueve el deslizador Inclinación y observa qué sucede.
Definición de pendiente
¿Cómo definirías tú la pendiente de una recta a partir del applet anterior?
Cálculo de la pendiente.
Cuando el cociente [math]\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math] entre cualesquiera dos parejas ordenadas [math]\left(x_1,y_1\right)[/math] y [math]\left(x_2.y_2\right)[/math] se mantiene constante, o la representación gráfica de los valores de dos variables es una recta, se dice que existe [b]variación lineal [/b]entre [math]x[/math] e [math]y[/math].[br][br]A ese cociente se le conoce como la [b]pendiente [/b]de la recta y se denota con la letra [math]m[/math]:[br][br][math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br][br]La pendiente se interpreta como el número de unidades que cambia [math]y[/math]cuando [math]x[/math] aumenta una unidad. [br][br]En el siguiente applet tienes una interpretación geométrica de la pendiente.
Mueve los puntos naranjas A y B y observa qué sucede con la pendiente.
Coloca los puntos de manera que las tres pendientes sean iguales.
¿Cómo deben estar los tres puntos para que las pendientes sean iguales? Utiliza la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon] para comprobarlo en el applet.
Coloca los puntos para que las pendientes sean igual a 2.
Coloca los puntos para que las pendientes sean igual a 2/5.
Coloca los puntos para que las pendientes sean negativas e iguales a -3.
¿Cómo tienen que estar los puntos para que las pendientes sean negativas? Comprueba con las herramientas de GeoGebra.
Coloca los puntos para que las pendientes sean negativas e iguales a -1/2.
La longitud de la circunferencia
Explora la siguiente situación.
¿Qué tipo de relación existe entre la longitud de la circunferencia y su radio? Explica a detalle.
¿Cómo es la gráfica de la variación entre la longitud de la circunferencia y su radio? Explica.
¿Cuánto mide la longitud de la circunferencia cuando el radio es cero?
¿Cuánto varía la longitud de la circunferencia por cada unidad de radio que aumentamos?
¿Qué tipo de variación es? Explica.
Ángulo de inclinación y rectas crecientes y decrecientes
El ángulo verde se llama[b] ángulo de inclinación[/b] de la recta. ¿Cómo lo definirías?[br]
[color=#9900ff][size=150]Vamos a relacionar el ángulo con la pendiente de la recta.[br][/size][/color][br]¿Qué valores tiene el ángulo cuando la[b] pendiente es positiva[/b]?
¿Qué valores tiene el ángulo cuando la[b] pendiente es negativa[/b]?
¿Qué valores tiene el ángulo cuando la[b] pendiente es cero[/b]?
[size=150]Decimos que una recta es [b]creciente[/b] si cuando [math]x[/math] aumenta, [math]y[/math] aumenta. [br][/size][br]¿Cómo es el ángulo en este caso? ¿Cuál es el signo de la pendiente?
[size=150]Decimos que una recta es [b]decreciente[/b] si cuando [math]x[/math] aumenta, [math]y[/math] disminuye. [br][/size][br]¿Cómo es el ángulo en este caso? ¿Cuál es el signo de la pendiente?
¿Cuál es el valor de la pendiente cuando el ángulo es 0º? ¿Cómo es la recta?
¿Cuál es el valor de la pendiente cuando el ángulo de inclinación es de 90º? ¿Cómo es la recta?
Rectas horizontales
¿Cuál es el valor de la pendiente en una recta horizontal? ¿Hay ordenada al origen?
¿Qué observas con las coordenadas de los puntos al dejar fijo el punto naranja y mover el rosa sobre la recta? ¿Qué cambia y qué queda igual?
Escribe cómo será la ecuación de una recta horizontal.
Rectas verticales
¿Cuál es el valor de la pendiente en una recta vertical? ¿Tiene sentido hablar de ordenada al origen?
¿Qué observas con las coordenadas de los puntos al dejar fijo el punto naranja y mover el rosa sobre la recta? ¿Qué cambia y qué queda igual?
Escribe cómo será la ecuación de una recta vertical.
[size=150]La [b]ecuación de una recta horizontal es [/b][math]y=b[/math] y se deduce de la fórmula [math]y=mx+b[/math] donde la pendiente [math]m[/math] es cero y [math]b[/math] indica el punto de corte de la recta con el eje Y (la ordenada al origen).[br][br]La [b]ecuación de una recta vertical es [/b][math]x=a[/math], donde [math]a[/math] indica el punto de corte de la recta con el eje X.[/size]
[b][color=#ff0000][size=150]Haz un apunte en tu cuaderno donde resumas todos los elementos estudiados en esta actividad, con gráficas explicativas de cada caso.[/size][/color][/b]