Un angolo al [u]centro[/u] e un angolo alla [u]circonferenza[/u] si dicono [b]corrispondenti[/b] quando [u]insistono sullo stesso arco[/u].[br][list=1][*]Per ogni angolo alla circonferenza esiste un [b]unico[/b] angolo al centro corrispondente. [/*][*]Per ogni angolo al centro, esistono [b]infiniti[/b] angoli alla circonferenza corrispondenti.[/*][/list]

Ogni [b]angolo[/b] alla [b]circonferenza[/b] è la [b]metà[/b] del corrispondente [b]angolo[/b] al [b]centro[/b].

La dimostrazione di divide tre parti, trattando i 3 casi:[br][list=1][*]O appartiene a uno dei lati dell'angolo alla circonferenza, AVB[/*][*]O è interno all'angolo alla circonferenza, AVB [/*][*]O è esterno all'angolo alla circonferenza, AVB[/*][/list][br]Ognuno di questi casi comprende un caso particolare (uno dei lati è tangente alla circonferenza).

[u]Ipotesi[/u]: AVB è un angolo alla circonferenza e AOB è l'angolo al centro corrispondente[br][br][u]Tesi[/u]: AVB [math]\cong[/math] [math]\frac{1}{2}[/math] AOB[br][br][u]Dimostrazione[br][br][/u][b]a) O appartiene a uno dei lati dell'angolo AVB; i lati sono entrambi secanti[/b][br][br]La tesi è equivalente a AOB [math]\cong[/math] 2AVB.[br][br]Il triangolo OVA è isoscele, dato che OA e OV sono raggi. Pertanto, gli angoli alla base AVO e OAV sono congruenti.[br]L'angolo al centro AOB è un angolo esterno del triangolo OVA; quindi, per il teorema dell'angolo esterno, [br]AOB è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti, congruenti:[br][br]AOB = [math]\beta[/math] = [math]\alpha[/math] + [math]\alpha[/math] = 2[math]\alpha[/math] = 2AVB, da cui [math]\alpha[/math] = [math]\frac{1}{2}[/math][math]\beta[/math][br][br]cioè, l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro corrispondente.[br][br][br][b]b) [/b][b]O appartiene a uno dei lati [b]dell'angolo AVB[/b]; l'altro lato è tangente alla circonferenza[br][br][/b]L'angolo alla circonferenza, che insiste sulla semicirconferenza, è [b]retto[/b], dato che la tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.[br]L'angolo al centro corrispondente (che insiste sulla semicirconferenza) è [b]piatto.[br][/b]Pertanto, l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro corrispondente.

[b]a) O è interno a[b]ll'angolo AVB[/b]; i lati sono entrambi secanti[/b][br][br]Tracciando la semiretta VO, l'angolo alla circonferenza AVB viene diviso in due parti che rientrano nel 1° caso della dimostrazione, in quanto i due angoli in cui AVB viene diviso hanno un lato che passa per il centro della circonferenza.[br][br]AVB = AVC + CVB e AOB = AOC + COB ; [br][br]AOC = 2AVC e COB = 2CVB per la dimostrazione precedente.[br][br]Pertanto, possiamo affermare che:[br][br]AOB = AOC + COB = 2AVC + 2CVB = 2(AVC + CVB) = 2 AVB [br][br]cioè, l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro corrispondente.[br][br][br][b]b) [/b][b]O [b]è interno a[b]ll'angolo AVB[/b][/b]; l'altro lato è tangente alla circonferenza[br][br][/b]Anche in questo caso, l'angolo alla circonferenza AVB viene diviso in due angoli, di cui uno è retto, che rientrano nel 1° caso della dimostrazione, in quanto i due angoli in cui AVB viene diviso hanno un lato che passa per il centro della circonferenza.[br][br]Si ripete il discorso del punto a e si dimostra che l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro corrispondente.

[b]a) O è esterno a[b]ll'angolo AVB[/b]; i lati sono entrambi secanti[/b][br][br]Tracciando la semiretta VO, all'angolo alla circonferenza AVB viene accostato un altro angolo BVC. In questo modo si ottengono di nuovo due angoli, AVC e BVC, che rientrano nel 1° caso della dimostrazione, in quanto entrambi hanno un lato che passa per il centro della circonferenza. La differenza rispetto al caso precedente è che AVB non è la somma dei due angoli che hanno un lato passante per il centro della circonferenza, ma la loro differenza.[br][br]AVB = AVC - BVC e AOB = AOC - BOC ; [br][br]AOC = 2AVC e BOC = 2BVC per la dimostrazione precedente.[br][br]Pertanto, possiamo affermare che:[br][br]AOB = AOC - BOC = 2AVC - 2BVC = 2(AVC - BVC) = 2 AVB [br][br]cioè, l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro corrispondente.[br][br][br][b]b) [/b][b]O [b]è esterno a[b]ll'angolo AVB[/b][/b]; l'altro lato è tangente alla circonferenza[br][br][/b]Anche in questo caso, l'angolo alla circonferenza AVB è la differenza di due angoli, di cui uno è retto, che rientrano nel 1° caso della dimostrazione, in quanto entrambi hanno un lato che passa per il centro della circonferenza.[br][br]Si ripete il discorso del punto a e si dimostra che l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro corrispondente.