[size=150]Abbiamo visto che l'[b]integrale indefinito[/b] è un insieme di infinite funzioni (le primitive), descritto al variare di c. [br][center]L'[b]integrale definito[/b] è un numero![/center]L'integrale definito ha la stessa notazione dell'integrale indefinito (segno di integrale, funzione integranda e dx) e in più ha due numeri scritti a destra del segno di integrale, uno in alto e uno in basso. [br][center][math]\int_a^bf\left(x\right)dx[/math][/center][br]I numeri a e b sono detti [b]estremi di integrazione: [/b]a è l'estremo inferiore, b l'estremo superiore.[br][br]Per calcolare l'integrale definito si usa questa regola:[br][br][center][math]\int_a^bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)[/math][/center][br]cioè:[br][list=1][*][size=150]calcoliamo l'integrale indefinito F(x) senza più bisogno di dover scrivere la c[/size][/*][*][size=150]sostituiamo alla x l'estremo di integrazione superiore (b)[/size][/*][*][size=150]mettiamo il segno meno[/size][/*][*][size=150]sostituiamo alla x l'estremo di integrazione inferiore (a)[/size][/*][*][size=150]facciamo i conti.[br][br][/size][/*][/list][/size][size=150]Ti faccio un esempio:[/size][br][center][size=150][br][math]\int_1^2\left(-x^2+4\right)dx=\left[-\frac{x^3}{3}+4x\right]_1^2=-\frac{2^3}{3}+4\cdot2-\left(-\frac{1^3}{3}+4\cdot1\right)=-\frac{8}{3}+8-\left(-\frac{1}{3}+4\right)=-\frac{8}{3}+8+\frac{1}{3}-4=\frac{-8+3\cdot8+1-3\cdot4}{3}=\frac{5}{3}[/math][br][br]Adesso risolvendo alcuni integrali definiti scoprirai cosa indica questo numero.[/size][/center][center][/center]
[size=150]Risolvi sul quaderno l'integrale definito e poi scrivi la soluzione qui sotto[br][br][center][math]\int_1^2\left(2x+3\right)dx[/math][/center][/size][center][/center]
[size=150]1) Nella finestra di GeoGebra qui sotto inserisci nella barra di inserimento e disegna i seguenti elementi:[br][list=1][*][size=150]La funzione integranda (funzione che è scritta dentro l'integrale)[/size][/*][*][size=150]La retta verticale che ha ascissa pari all'estremo di integrazione inferiore (valore scritto in basso a fianco dell'integrale)[/size][/*][*][size=150]La retta verticale che ha ascissa pari all'estremo di integrazione superiore (valore scritto in alto a fianco dell'integrale)[/size][/*][/list][br]2) Con il comando di GeoGebra Intersezione (seconda casella nella barra degli strumenti) evidenzia le intersezioni di ciascuna retta verticale con l'asse x e di ciascuna retta verticale con la funzione integranda.[br][br]3) Con il comando di GeoGebra Poligono (quinta casella nella barra deli strumenti) costruisci il quadrilatero che ha come vertici i quattro punti che hai trovato.[br][br]4) Con il comando di GeoGebra Area (ottava casella nella barra degli strumenti) misura l'area del tuo quadrilatero.[br][/size]
[size=150]Rispondi alle domande.[br][br]1) Quanto misura l'area del quadrilatero?[br][br]2) Ora risolvi nuovamente sul quaderno l'integrale di sopra cambiando l'estremo di integrazione superiore in 3[/size][size=150]. Quanto fa l'integrale adesso?[br][br]3) Ora nella finestra di GeoGebra modifica l'equazione della retta seconda retta verticale, facendo sì che abbia sempre ascissa pari all'estremo di integrazione.[br][br][/size][size=150]4) Come sono i due valori soluzione dell'integrale e area del quadrilatero?[/size]
[size=150]Risolvi sul quaderno l'integrale definito e poi scrivi la soluzione qui sotto[br][br][center][math]\int_0^2\left(-x-4\right)dx[/math][/center][/size][center][/center]
[size=150]Modifica gli elementi della finestra di GeoGebra di sopra in modo che si adattino al nuovo integrale (funzione integranda e rette degli estremi di integrazione, il resto cambierà automaticamente di conseguenza).[/size]
[size=150]Rispondi alle domande.[br][br]1) Come sono stavolta i due numeri che hai trovato come soluzione dell'integrale e come area del quadrilatero?[br][br][/size][size=150]2) Come mai secondo te non sono uguali, come erano prima?[/size]
[size=150]Risolvi sul quaderno l'integrale definito e poi scrivi la soluzione qui sotto[br][br][center][math]\int_{-1}^2\left(-2x+2\right)dx[/math][/center][/size][center][/center]
[size=150]Modifica gli elementi della finestra di GeoGebra di sopra in modo che si adattino al nuovo inte[/size][size=150]grale (funzione integranda e rette degli estremi di integrazione, il resto cambierà automaticamente di conseguenza).[br][br]1) Com'è il valore dell'area rispetto al risultato dell'integrale?[br][br]2) Anche stavolta hai ottenuto un quadrilatero?[br][br]3) Calcola a mente le aree dei due triangoli con la formula dell'area del triangolo. Quanto misurano?[br][br]4) In che modo sono legate al valore dell'area calcolato da GeoGebra?[/size]