Diseño de un Arco Carpanel de Tres Centros

Elementos de un Arco Carpanel
El arco carpanel de tres centros, se traza mediante tres circunferencias tangentes. [br]Marcando la casilla [i]Auxiliares[/i] en el applet a continuación, podrás comprobar que:[br](*) si te es más cómodo, desmarca la poción de [i]Zona exterior[/i] y [i]Dovelas[/i].[br][list][*]El centro de la primera está en la mediatriz de la línea de impostas (los extremos en los que se apoya el arco), y esta primera circunferencia pasa por el punto que hayamos determinado como altura del arco.[/*][*]Los enlaces se sitúan en uno de los puntos de este arco, y su simétrico respecto la mediatriz anterior.[br][/*][*]Los otros dos centros se encuentran en la intersección de la línea de impostas con la que une el punto de enlace con el primer centro.[br]Sus correspondientes arcos se trazan desde los puntos de enlace hasta las impostas.[/*][*]Si queremos una flecha (altura) y luz (ancho) concretos, esto determinará el lugar en el que deben ir los enlaces.[br][/*][/list]
Diseñamos un Arco carpanel
Experimenta con el applet moviendo los diferentes puntos :[br][list][*]Los que tienen forma de triángulo, para modificar las dimensiones del arco: la distancia entre las impostas, la altura máxima del arco, y la altura del relleno.[/*][*]El punto marrón, para cambiar la zona de enlace de las circunferencias. [/*][/list](*) Para visualizar mejor las tres circunferencias resultantes, ten marcado relleno [i]Entre arcos[/i] y desmarcadas las [i]Dovelas[/i].
Construcción con regla y compás
Como hemos visto, dada la luz y la flecha, podemos trazar muchos posibles arcos carpaneles, según situemos el centro del primer arco. [br][list][*]Veremos un procedimiento cómodo para trazar uno de estos posibles arcos, que puede hacerse fácilmente con regla y compás.[/*][*]Después, en las siguientes actividades haremos un pequeño análisis de los arcos carpaneles y la forma de construirlos.[br][/*][/list][br][b]Trazado con regla y compás[/b][br][list=1][*]Dada la luz del arco, trazamos el correspondiente arco de medio punto.[/*][*]Considerando la flecha, trazamos el segmento que une uno de las impostas con el punto donde queremos que esté la clave.[/*][*]A ese segmento, le quitamos la distancia que hay de la clave al extremo superior del arco de medio punto. [br](*) Para trazarlo con compás, podemos cortar la circunferencia con centro en la clave y pasa por el extremo superior del arco de medio punto, con el segmento.[/*][*]Trazamos la mediatriz del segmento resultante. Los puntos de corte nos dará los centros de las circunferencias:[br][list][*]Con la mediatriz de las impostas: arco central.[/*][*]Con la línea de impostas: arcos laterales.[br][/*][/list][/*][/list]Podemos visualizar mejor la construcción en el siguiente applet. Para elegir la configuración del arco, modificar los puntos azules. Más adelante veremos cuál de los posibles arcos es el óptimo, y que es precisamente el obtenido con esta construcción.[br]En [url=https://reformando.org/casa/tejado/arco-ladrillo-carpanel/]este enlace[/url] podemos ver la descripción de una construcción real de este arco.
Arco carpanel con regla y compás
A. Analizamos los elementos del arco
Observa la definición del arco carpanel y la primera construcción que hicimos, para responder las siguientes cuestiones.[br][b]Ejercicio[/b]: justifica, utilizando tus conocimientos matemáticos el hecho de que la forma descrita para construir el arco nos asegura que[br][list=1][*]Las primera circunferencia es [b]tangente [/b]con las otras dos, precisamente en los [b]puntos de enlace.[/b][/*][*]Estas otras dos circunferencias son tangentes a la perpendicular a la línea de [b]impostas[/b].[br](*) En el siguiente apartado comentaremos cómo, eligiendo adecuadamente el primer centro/punto de enlace, conseguiremos que, además, los puntos de tangencia sean precisamente las impostas.[/*][*]¿[b]Por qué son importantes[/b] esas tangencias? ¿Qué ocurriría si no fuesen tangentes?[br][/*][/list]
B. Elegimos el punto de enlace
En [url=https://revistasuma.fespm.es/revistas/79-julio-2015/geometria-del-arco-carpanel.html]este artículo de la revista SUMA[/url] sobre la Geometría del arco Carpanel, explican que:[br][list][*]No importa dónde situemos el punto de enlace, el [b]ángulo [/b]que se forma con el punto de altura máxima del arco y (cualquiera de) las impostas es 135º (3π/4).[/*][*]El [b]incentro [/b]del triángulo rectángulo con hipotenusa el segmento que une los puntos anteriores y que tiene un cateto paralelo a la línea de impostas, sirve como punto de enlace para trazar el [b][i]arco óptimo[/i][/b]. ([i]Marca Auxiliares[/i] y [i]Zona de enlaces[/i] para visualizar esa construcción).[br](*) El arco carpanel óptimo es en el que las curvaturas de las circunferencias son lo más parecidas posibles.[/*][/list][b][br]Ejercicio[/b]: [u]sabiendo esto[/u], y con la ayuda de la visualización del applet explica, utilizando tu vocabulario matemático:[br][list=1][*]Cómo [b]encontrar el centro[/b] del primer arco, una vez que conocemos el punto de altura máxima y el que queremos que sea el punto de enlace.[/*][*]Si tenemos ya fijado el punto de altura máxima y las impostas ¿crees que cualquier punto sirve como punto de enlace, o debe cumplirse alguna condición?[br][/*][*]Indica cómo encontrar la zona o [b]lugar geométrico[/b] en que es posible situar el punto de enlace cuando conocemos las impostas y la altura máxima.[br](*) Pista: está relacionado con el concepto de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_capaz]arco capaz[/url].[br][/*][/list]
C. Reflexionamos. Trazando un segundo arco para dar grosor
Si utilizamos una única línea para modelizar el arco, puede parecernos demasiado "fino" y queramos [b]trazar otro arco[/b] por fuera para dar la apariencia de tener más [b]grosor[/b], de manera que la separación con el primero sea la misma en todos los puntos.[br](Observa qué ocurre al desmarcar [i]Trazado-Zona Exerior[/i] y [i]Relleno-Entre Arcos[/i]. Luego, con las dos opciones marcadas, observa cómo se modifica la construcción al aumentarl el grosor, moviendo el punto con forma triangular [color=#980000][b]▲[/b][/color]).[br][br][b]Ejercicio[/b]: utilizando vocabulario matemático para razonar[br](*) indicaciones: puedes ayudarte del applet anterior, o crear tu propio arco carpanel para investigar[br][list=1][*]por qué una [b]traslación [/b]del primer arco [b]no [/b]sirve para resolver este problema.[/*][*]qué problema nos encontramos si intentamos resolver el problema con una [b]única homotecia[/b]. Por ejemplo, de centro el punto medio de las impostas, o el primer centro.[br][br]En el applet, el problema se ha resuelto utilizado [b]varias homotecias. [/b][/*][*]Identifica cuáles son, indicando sus centros y cómo podríamos obtener sus correspondientes razones.[/*][*]Justifica por qué, en este nuevo arco, los diferentes trazos cumplen propiedades de [b]tangencia [/b]similares a las del primer arco carpanel.[br][/*][/list]
D. Reflexionamos. Diseñamos dovelas
El arco suele construirse ensamblando piezas denominadas dovelas (marca la opción [i]Dovelas[/i] para visualizarlas). [br][list=1][*]¿Qué [b]forma [/b]geométrica tienen? (cuál es su nombre)[/*][*]¿Qué estrategias podríamos seguir para seleccionar los [b]puntos del arco[/b] que nos servirán para construir las dovelas? Indica si sabrías cómo modelar en GeoGebra la estrategia que has elegido.[/*][*]En el applet, lo que se ha hecho es repartir los diferentes puntos (por ejemplo 9, para crear 9 dovelas) de manera que la longitud del arco entre ellos sea siempre la misma.[br][list][*]Con este método, ¿cómo calcularías esos puntos si tuviésemos una semicircunferencia, en lugar de tres arcos enlazados?[/*][*]Intenta ampliar la solución considerando que tenemos tres arcos enlazados (y por tanto, con diferentes centros y radios/curvaturas).[br][/*][/list][/*][/list]
E. Calcula
Anteriormente, hemos calculado el centro de las circunferencias a partir del ancho (luz) y alto (flecha) del arco, y el punto que queremos que sea el enlace entre los arcos.[br]Supongamos ahora que, dado el centro de la circunferencia central, la luz y la flecha, quisiéramos calcular cuál debería ser el centro de las circunferencias laterales.[br][br]Para encontrarlo, calcula la distancia a la que está del punto medio de los extremos del arco.[br]Por comodidad, denominaremos [br][list][*][i]a[/i] , distancia de los extremos del arco al punto central, [/*][*]R al radio de la circunferencia central y [/*][*]b su distancia al punto medio de los extremos del arco.[/*][/list]
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