[size=85][size=50][right][i][b][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]october 2021[/color][/size][/b][/i][/right][/size][br][color=#cc0000][u][i][b]Zitat[/b][/i][/u][/color]:[color=#0000ff][u][i][b] [url=https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation]wikipedia[/url][/b][/i][/u][/color][br][math]\approx[/math] "Given a set of three distinct points [b]z[sub]1[/sub][/b], [b]z[sub]2[/sub][/b], [b]z[sub]3[/sub][/b] in [math]\mathbb{C}\cup \{ \infty\}[/math] and a second set of distinct points [b]w[sub]1[/sub][/b], [b]w[sub]2[/sub][/b], [b]w[sub]3[/sub][/b], [br]there exists precisely [i][b]one[/b][/i] Möbiustransformation [b]T(z)[/b] with [b]T(z[sub]i[/sub])[/b] = [b]w[sub]i[/sub][/b] for [b]i[/b] = 1,2,3." [br][br][color=#cc0000][i][b]For example:[/b][/i][/color] [b]0[/b], [b]1[/b], [math]\mathbf{\infty}[/math] ---> [b]T[/b] ---> [b]w[sub]0[/sub][/b], [b]w[sub]1[/sub][/b], [b]w[/b][math]\mathbf{_{\infty}}[/math]; [br] [math]\mathbf{T}\left(z\right):=\frac{\left(w_1-w_0\right)\cdot w_{\infty}\cdot z-\left(w_1-w_{\infty}\right)\cdot w_0}{\left(w_1-w_0\right)\cdot z-\left(w_1-w_{\infty}\right)}[/math].[br][br] If w[math]_{\infty}[/math]=[math]\infty[/math], [math]\mathbf{T}\left(z\right):=\left(w_1-w_0\right)\cdot z+w_0[/math][/size]

[right][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]october 2021[/color][/size][/b][/i][/size][/right][br][size=85]Ein [/size][color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color][size=85] besteht aus allen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], welche einen vorgegebenen [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] in einem [br]vorgegebenen [color=#0000ff][i][b]Punkt[/b][/i][/color] - dem [color=#0000ff][i][b]Grundpunkt [/b][/i][/color]des [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] - [i][b]berühren[/b][/i].[br][br]Die [color=#ff00ff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] zur [math]x[/math]-Achse sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] ein solches [color=#ff0000][i][b]parabolisches[/b][/i][/color] "[color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]": Die "[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]" sind hier [color=#ff00ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color],[br]welche durch den Punkt [math]\infty[/math] gehen und sich dort berühren. [br]Dies erkennt man am ehesten mit Hilfe der [color=#900000][i][b]stereographischen Projektion[/b][/i][/color].[br]Jedes [color=#ff00ff][i][b]Parallelen-Büschel[/b][/i][/color] ist ein [color=#ff00ff][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit [math]\infty[/math] als [color=#0000ff][i][b]Grundpunkt[/b][/i][/color].[br][br]Eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color], welche die [color=#0000ff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]0,1,\infty[/math] auf drei verschiedene [color=#0000ff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]w_0,w_1,w_{\infty}[/math] abbildet, transformiert[br]das [color=#ff00ff][i][b]Büschel[/b][/i][/color] der zur [math]x[/math]-Achse [color=#ff00ff][i][b]parallelen Geraden[/b][/i][/color] in ein [color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color], welches die [color=#ff00ff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] auf [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]abbildet, die den Kreis durch [math]0,1,\infty[/math] in [math]\infty[/math] berühren.[br]Umgekehrt läßt sich jedes [color=#ff0000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] durch eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [br]in ein [color=#ff00ff][i][b]Parallelen-Büschel[/b][/i][/color] transformieren.[/size]

[size=85]Allgemein sind [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und deren [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] - also die Kurven, [br] welche die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] unter [i][b]konstantem[/b][/i] Winkel schneiden -[br]charakterisiert durch eine [color=#38761D][i][b]Differential-Gleichung[/b][/i][/color] und damit durch ein [color=#274E13][i][b]Vektorfeld[/b][/i][/color] des Typs[br][/size][list][*][math]g'=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\mbox{ mit }f_1,f_2,c\in\mathbb{C}[/math].[br][/*][/list][size=85]Hierbei ist die [color=#274E13][i][b]komplexe Lösungsfunktion[/b][/i][/color] [math]g=g(z)[/math] analytisch, bzw. meromorph. [br]Die Nullstellen [math]f_1,f_2[/math], die wir [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][/color]nennen, können zusammenfallen ( - dann liegt ein [color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] vor - ).[br]Man kann die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] eines [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschels[/b][/i][/color] dynamisch deuten als [i][b]Kreiswellen[/b][/i], die sich von einer [color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] aus [br]in Richtung der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] zur [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] bewegen. [br][color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] der [color=#980000][i][b]Wellen-Bewegung[/b][/i][/color].[br]Wir nennen diese [color=#274E13][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]linear[/b][/i][/color]. [br]Zur Erklärung verweisen wir auf die Darstellung der Möbiusgruppe durch die komplexe spezielle orthogonale Gruppe [b]SO[/b]([b]3[/b],[math]\mathbb{C}[/math])[br]und deren [b]LIE[/b]-Algebra [math]\mathbf{\mathcal{so}\left(3,\mathbb{C}\right)[/math]. [math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color], speziell das Kap. [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168949][color=#0000ff][u][i][b]Kreisbüschel und lineare Vektorfelder[/b][/i][/u][/color][/url][br][br]Überlagert man 2 solcher [color=#274E13][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color], so entstehen "[color=#ff7700][i][b]quadratische Vektorfelder[/b][/i][/color]", deren [color=#9900ff][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] [color=#6aa84f][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [br][color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte [/b][/i][/color]oder [color=#6aa84f][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sein können. [br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind jeweils die Nullstellen der [color=#274E13][i][b]linearen Vektorfelder[/b][/i][/color].[br]Die [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color][/size] sind in diesen Fällen [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] der sich schneidenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus den beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br][br]links: [br][math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]möbiusebene[/url][/b][/i][/u][/color][br][math]\hookrightarrow[/math] [/size][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][/size] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp]Leitlinien und Brennpunkte[/url][/b][/i][/u][/color][br][br][/size]

[right][i][b][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]october 2021[/color][/size][/b][/i][br][/right][size=85]Die [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [math]z\mapsto Tz=\frac{w_{\infty}\cdot z-s_1\cdot w_0}{z-s_1}\mbox{ mit } s_1=\frac{w_1-w_{\infty}}{w_1-w_0}[/math] bildet 1,0,[math]\infty[/math] auf [color=#0000ff][b]w[sub]0[/sub][/b][/color], [color=#0000ff][b]w[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#0000ff][b]w[math]_{\infty}[/math] [/b][color=#000000]ab[/color].[br][color=#000000]Durch die [color=#274E13][i][b]komplexe Funktion[/b][/i][/color] [math]g(z)=Te^z=\frac{w_{\infty}\cdot e^z-s_1\cdot w_0}{e^z-s_1}[/math] werden[br] - die [math]x[/math]-[color=#ff00ff][i][b]achsenparallelen Geraden[/b][/i][/color] auf die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschels[/b][/i][/color] durch [color=#0000ff][b]w[sub]0[/sub][/b][/color] und [color=#0000ff][b]w[/b][/color][math]_{\infty}[/math] abgebildet[br] - die [math]y[/math]-[/color][/color][/size][size=85][color=#0000ff][color=#000000][size=85][color=#0000ff][color=#000000][color=#ff00ff][i][b]achsenparallelen Geraden[/b][/i][/color][/color][/color][/size] auf die [/color][/color][/size][size=85][color=#0000ff][color=#000000][size=85][color=#0000ff][color=#000000][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/color][/color][/size] des [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color] um [/color][/color][/size][size=85][color=#0000ff][color=#000000][size=85][color=#0000ff][color=#000000][color=#0000ff][b]w[sub]0[/sub][/b][/color] und [color=#0000ff][b]w[/b][/color][math]_{\infty}[/math] abgebildet[br] - andere [color=#ff00ff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] auf [color=#ff00ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] zu den [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] abgebildet. [/color][/color][/size][/color][/color][br][br]Es entsteht dabei oben ein [color=#ff7700][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color] aus Kurven. [math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][color=#0000ff][u][i][b]Sechsecknetze[/b][/i][/u][/color][/url].[br][/size]

[right][i][b][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [/size][/b][/i][i][b][size=50][url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [/size][/b][/i][size=50][size=50][br]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](Juli 2019)[br][/b][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/right][size=85]Bilder der [color=#0000ff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] [math]x=const[/math] bzw. [math]y=const[/math] unter den komplexen Funktionen [br][/size][list][*][size=85][math]z\mapsto z^2=\left(x+i\cdot y\right)^2[/math] .............. Quadratfunktion![/size][/*][*][math]z\mapsto cos\left(z\right)=cos\left(x+i\cdot y\right)[/math][size=85] .... Cosinus-Funktion[br][/size][/*][/list][size=85]Beide Funktionen genügen einer „[color=#0000ff][i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i][/color]“:[/size][br][list][*][math]w=z^2[/math]: [math]\left(w'\right)^2=\frac{1}{2}\cdot(w-0)[/math], [math]f=0[/math] [size=85]ist der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] ! [math]\infty[/math] ist ein [b]3[/b]-facher [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]![/size][/*][br][*][math]w=cos(z)[/math]: [math]\left(w'\right)^2=1-w^2=(1+w)\cdot(1-w)[/math], [math]+1,-1[/math] [size=85]sind die [i][b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/b][/i]! [math]\infty[/math] ist ein [b]2[/b]-facher [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]![/size][/*][/list]

[right][i][b][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [br][/size][/b][/i][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](Oktober 2019)[br][/b][/color][/size][/size][size=85][size=50][size=50][/size][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][size=85]Diese Namensgebung ist reines Privatvergnügen, wahrscheinlich wird man Suchmaschinen vergeblich zur Aufklärung bemühen! [br]Auf den Seiten dieses Kapitels über "[color=#980000][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/color]" wollten wir die [color=#0000ff][i][b]geometrische Wirkungsweise[/b][/i][/color] einiger [br]Standard-Funktionen der komplexen Analysis durch ihre Bilder des Standard-Kurvennetzes der [math]z[/math]-Ebene [br]- [i][b][color=#980000]Parallelen[/color][/b][/i] zur [math]x[/math]- und [color=#00ffff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] zur [math]y[/math]-Achse - in der [math]w[/math]-Ebene veranschaulichen.[br]Diese Standard - Parallelen-Scharen sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] ein [color=#ff7700][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] und [br]sein [color=#ff7700][i][b]polares orthogonales Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br]Unsere generelle Fragestellung für dieses Kapitel lautet: wie bilden [color=#0000ff][i][b]konforme Funktionen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] ab![br][list][*]Die komplexe [math]e[/math]-Funktion bildet das oben angeführte [color=#ff7700][i][b]Parallelen-Büschel[/b][/i][/color] einfach periodisch [br]auf die [color=#00ffff][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um den Ursprung und die dazu [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Ursprungsstrahlen[/b][/i][/color] ab: [br]aus dem [color=#ff7700][i][b]parabolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit [math]\infty[/math] als Büschelpunkt wird ein [br][color=#ff7700][i][b]hyperbolisch-elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit 0 und [math]\infty[/math] als Büschelpunkten! [br]Siehe auch die Seiten über die [b][/b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/weqgszna][b]exp[/b]-Funktion[/url], bzw. die [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/mumzzsxu][b]tan[/b]-Funktion[/url].[br][/*][*]Mit Hilfe von Möbiustransformationen und der [math]e[/math]-Funktion kann man also jedes [color=#ff7700][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [br]auf jedes [color=#ff7700][i][b]elliptisch-hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] abbilden![br][/*][*]Mit der [color=#9900ff][i][b]natürlichen Logarithmus-Funktion[/b][/i][/color] kann man dies teilweise umkehren![br][/*][*]Die Funktion [math]\mathbf{Cas}\left( z \right) :=\sqrt{\exp\left( z \right)+1}[/math] bildet das parabolische Kreisbüschel [math]z=x+i\cdot y[/math] zuerst auf [br]das hyperbolisch-elliptische Kreisbüschel um 1 ab: [math]z\mapsto u=\exp\left(z\right)+1[/math] [br]und anschließend werden die Kreise und Strahlen des Büschels abgebildet auf die [color=#00ffff][i][b]CASSINI-Kurven[/b][/i][/color] [br]um die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] +1, -1 und deren Orthogonalkurven, das sind gleichseitige [color=#ff0000][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color]![/*][*][color=#ff00ff][u][i]Generell[/i][/u][/color]: die komplexe [color=#9900ff][i][b]Wurzel-Funktion[/b][/i][/color] bildet Kreise und Geraden auf [i][b]CASSINI-Kurven[/b][/i] ab [br](einteilige, zweiteilige, auf [b]BERNOULLI[/b]-Lemniskaten, auf rechtwinklige Hyperbeln, [br]und manchmal auch wieder auf einen Teil eines Kreises, oder auf 2 orthogonale Strahlen). [br]Siehe auch "[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/qc3ge84z]Kreisbüschel wurzeln[/url]"![/*][*]Die [b]CASSINI[/b]-Kurven sind (von den Sonderfällen abgesehen!) die [color=#cc0000][i][b]multiplikativen[/b][/i][/color] Pendants [br]der [color=#cc0000][i][b]additiven[/b][/i][/color] Gärtner-Konstruktions-Ellipsen: sie genügen einer Gleichung des Typs [math]\left|z-f\right|\bullet\left|z+f\right|=const[/math]. [br]Hier sind [math]\pm 1[/math] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]\pm f[/math]! [br]Das Bild oben zeigt aber keine "[color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color]" [b]CASSINI[/b]-Kurven: [br][b]CASSINI[/b]-Kurven sind bizirkulare Quartiken, diese besitzen 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]; [br]der 3. und 4. [color=#38761D][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ist bei den [b]CASSINI[/b]-Kurven oben für je 2 Kurven verschieden! [size=50][br]Nebenbei: in einem Netz von [color=#ff7700][i][b]konfokalen bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] mit 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] liegen nur 2 [b]CASSINI[/b]-Kurven![/size][br]Die zugehörigen Funktionen sind doppelt-periodische [color=#9900ff][i][b]elliptische Funktionen[/b][/i][/color], die in [b]Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Gebra[/b] nicht implementiert sind.[/*][*][color=#ff7700][i][b]Konfokale Kegelschnitte[/b][/i][/color] erhält man mit [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/km7fmdur]den Funktionen[/url] [math]z\mapsto w=z^2[/math], bzw. [math]z\mapsto w=\cos\left(z\right)[/math]. [br][/*][/list][/size][size=85]Die [color=#9900ff][i][b]Wurzel-Funktion[/b][/i][/color] bildet die [math]z[/math]-Ebene auf die rechte Hälfte [math]x\ge0[/math] der [math]w[/math]-Ebene ab, dies sieht man am ehesten in[br]Polarkoordinaten: für [math]z=\rho\cdot e^{i\varphi}[/math], [math]-\pi\le\varphi\le\pi[/math] ist [math]\sqrt{z}=\sqrt{\rho\cdot e^{i\varphi} }=\sqrt{\rho}\cdot e^{i\frac{\varphi}{2}}[/math]. [br]Um die ganz [math]w[/math]-Ebene auszufüllen, muss man sich die [math]z[/math]-Ebene um eine [color=#274E13][i][b]Überlagerung[/b][/i][/color] [math]z=\rho\cdot e^{i\varphi}[/math], [math]+\pi\le\varphi\le 3\pi[/math] [br]erweitert denken![br][br]Die [b]CASSINI[/b]-Kurven besitzen eine weitere interessante Eigenschaften, die man als [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrische[/b][/i][/color] Verallgemeinerung [br]des [color=#0C343D][i][b]Peripheriewinkel-Satzes[/b][/i][/color] bezeichnen kann![br][/size][list][*][size=85]Der Ort, in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] zweier [color=#ff7700][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color] unter [i][b]konstantem[/b][/i] Winkel schneiden, [br]ist ein Kreis durch die beiden Büschelpunkte: der [color=#0000ff][i][b]Umfangswinkel-Kreis[/b][/i][/color].[/size][/*][*][size=85]Der Ort, in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff7700][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter [i][b]konstantem[/b][/i] Winkel schneiden, [br]ist eine [b]CASSINI[/b]-Kurve durch die Büschelpunkte der beiden [color=#ff7700][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]![/size][/*][*][size=85]Der Ort, in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]W-Kurven[/b][/i][/color] zweier [color=#ff7700][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] berühren, ist eine [b]CASSINI[/b]-Kurve.[/size][/*][/list][size=85][br][color=#ff0000][i][b]W-Kurven[/b][/i][/color] sind die Bahnen einer Ein-Parameter-Untergruppe der zugrundeliegenden Bewegungsgruppe, [br]hier ist dies die Gruppe der [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color]. [br]Die zuletzt genannten Sachverhalte werden in diesem [color=#980000][i][b]Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]Gebra-book[/b][/i][/color] im Kapitel[br] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168948]Berührorte oder [b]CASSINI[/b]-Kurven[/url] genauer beleuchtet.[/size]

[right][size=50][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [br][/size][/b][/i]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](August 2019; Beschleuigungsversuch Februar 2020)[br][/b][/color][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][size=85][size=50]Für dieses Applet benötigt man etwas Geduld: gedacht und versucht ist, dass Änderungen der veränderlichen Teile[br]zu Beginn schnell möglich sind. Die zeitaufwändige Neuberechnung und Anzeige der zahlreichen impliziten Kurven[br]sollte dann erst mit "[color=#980000][i][b]Kurven neu berechnen[/b][/i][/color]" erfolgen. [br][/size][br][br]Oben angezeigt: Die konforme, komplex-differenzierbare Abbildung [math]z\mapsto w=\sqrt{z}[/math] .[br][br]Die [color=#0000ff][i][b]Bild-Kurven[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] in der [math]z[/math]-Ebene werden in der [math]w[/math]-Ebene zunächst nur "halb" angezeigt: [br]Aus [math]z=r\cdot e^{i\cdot\varphi},-\pi\le\varphi\le +\pi[/math] wird [math]w=\sqrt{r}\cdot e^{\frac{i\cdot\varphi}{2}}[/math], dh. es werden nur Punkte [math]w[/math] mit [math]-\frac{-\pi}{2}\le\psi=\frac{\varphi}{2}\le\frac{\pi}{2}[/math] erfasst! [br]Die 2. Hälfte erhält man durch Spiegelung am Ursprung [math]w=-\sqrt{z}[/math][br]Die Bildkurven sind [b]CASSINI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] - man vergleiche auch das Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168948][b][i]Berührorte oder Cassini-Kurven[/i][/b][/url].[br]Es sei [math]m[/math] der [color=#0000ff][i][b]Mittelpunkt [/b][/i][/color]eines der Kreise des Kreisbüschels in der [math]z[/math]-Ebene und es seien [math] f_{1/2}=\pm\sqrt{m}[/math] die Bildpunkte [br]in der [math]w[/math]-Ebene. Die Kurven in der [math]w[/math]-Ebene genügen der Gleichung:[br][/size][list][*][size=85] [math]\left|z-m\right|^2-r^2=\left|w^2-f^2\right|^2-r^2=\left|w-f_1\right|^2\cdot\left|w-f_2\right|^2-r^2=0[/math] oder [math]\left|w-f_1\right|\cdot\left|w-f_2\right|=\mathbf{const}[/math][/size][/*][/list][size=85]Das ist die charakterisierende Gleichung der [b]CASSINI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Quartiken[/b][/i][/color].[br][color=#38761D][u][i][b]Kurz:[/b][/i][/u][/color] das Bild eines [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color] oder einer [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] unter der komplexen [i][b]Wurzel-Funktion[/b][/i] ist eine [b]CASSINI[/b]-Quartik, [br]wobei wir diese Bezeichnung wie im oben genannten Kapitel verwenden: [br]enthalten in dieser Kurvenklasse sind auch gleichseitige Hyperbeln ([b]BERNOULLI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Lemniskaten[/b][/i][/color]) [br]und in 2 Kreise zerfallende Quartiken.[br][i][b]Möbiusgeometrisch[/b][/i] sind diese Kurven von Interesse als [color=#980000][i][b]Berührorte[/b][/i][/color]: [br]Die Orte, in welchen sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter [i]konstantem[/i] Winkel schneiden, sind gerade die [b]CASSINI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Quartiken[/b][/i][/color]. [br]Betrachtet man nicht nur die Kreise eines [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color], sondern auch die [i][b]Kurven,[/b][/i] welche ein [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel [/b][/i][/color][br]unter konstantem Winkel schneiden - die [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] - so erklärt sich die Bezeichnung "[i][b]Berührorte[/b][/i]": [br]in den [b]CASSINI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] berühren sich die zu 2 Winkeln gehörenden [color=#9900ff][i][b]Loxodromen[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]. [br]Siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/zHNtpeNX]Berührorte[/url] und [math]\hookrightarrow[/math] [/size][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/Ft3cJNkT][size=85][size=85]Berührort zweier Kreisbüschel[/size][/size][/url]

[size=50][right]Zur Verringerung der Ladezeit werden die impliziten Kurven erst nach [color=#980000][i][b]Änderung von n[/b][/i][/color] mit dem [color=#ff7700][i][b]button[/b][/i][/color] "[color=#ff7700][b]Schar neu berechnen[/b][/color]" angezeigt![/right][/size]

[right][size=85][size=50][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [br][/size][/b][/i]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](August 2019)[br][/b][/color][/size][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][size=85][color=#0000ff][i][b]Elliptische Funktionen[/b][/i][/color] sind komplex-differenzierbare Funktionen [math]z\mapsto w=g\left(z\right)[/math], [br]welche einer [i][b]Differential-Gleichung[/b][/i] [/size][size=85][size=85]des Typs [/size]genügen [br][/size][list][*][size=85][math]g'\,^2=c\cdot\left(g-e_1\right)\cdot\left(g-e_2\right)\cdot\left(g-e_3\right)\cdot\left(g-e_4\right)[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Liegt einer der Nullstellen [math]e_i[/math] - wir sagen "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]" - in [math]\infty[/math], so liegt eine [b]WEIERSTRAß[/b]sche [math]\wp[/math]-Funktion vor.[br]Die oben angezeigten implizit definierten [color=#00ff00][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] sind Lösungen der [i][b]Differentialgleichung[/b][/i] [br]für die [b][i]reellen[/i][/b] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math]. [br]4 verschiedene [color=#ff0000][i][b]konzyklische[/b][/i][/color] Punkte [math]e_1,e,e_3,e_4\in\mathbb{C}[/math] lassen sich stets durch eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [br]auf 4 komplexe Punkte [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}\mbox{ mit }f\in\mathbb{R} [/math] auf der [math]x[/math]-Achse abbilden.[br]Die [i][b]Differentialgleichung[/b][/i] vereinfacht sich zu[br][/size][list][*][math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g^4-\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot g^2+1\right)[/math][br][/*][/list][size=85]Die [color=#9900ff][i][b]impliziten Gleichungen[/b][/i][/color] lauten:[br][list][*] [math]\left(x^2+y^2\right)^2-\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)\cdot x^2-\frac{\left(\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)-4\right)\cdot f^2}{\left(f^2-s^2\right)\cdot\left(f^2-\frac{1}{s^2}\right)}\cdot y^2+1=0[/math], [br]wobei [math]f\in\mathbb{R}[/math] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und [math]s\in\mathbb{R}[/math] die [color=#ff7700][i][b]Scheitel[/b][/i][/color] festlegen. [br][color=#ff0000][i][b]Nachtrag verbessert Februar 2020[/b][/i][/color]: in der 2. Klammer: [math]s^2+\frac{1}{s^2}[/math] statt [math]s^2-\frac{1}{s^2}[/math][/*][/list]Zwei der Kurven sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] [b]CASSINI[/b]-[color=#980000][i][b]Quartiken[/b][/i][/color].[br]Siehe die Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168951]Hermitesche Abbildungen und bizirkulare Quartiken[/url] und [br][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168952]Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen[/url][br][br]Leider kann man (in [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra[/b][/i][/color]?) die Kurven nicht mit einer [color=#38761D][i][b]explizit[/b][/i][/color] gegebenen komplexen Funktion anzeigen [br]wie zB. die zu [math]z\mapsto w=\sin\left(z\right)[/math] oder [math]z\mapsto w=\tan\left(z\right)[/math] gehörenden Kurven.[br][br]4 verschiedene [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] auf einem Kreis besitzen stets 4 [color=#980000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color] (einer davon ist imaginär!).[br]Sie lassen sich mit Hilfe einer [color=#0000ff][i][b]Möbius-Transformation[/b][/i][/color] so anordnen wie im Applet angezeigt.[br]Zu jeder Symmetrie gehören 2 [color=#999999][i][b]Scheitelkreise[/b][/i][/color]; [br]spiegelt man einen ausgewählten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] (hier [color=#00ff00][b]f[/b][/color]), an diesen [color=#999999][i][b]Scheitelkreisen[/b][/i][/color], so erhält man [color=#3c78d8][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [br]der zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color]. Diese liegen in einem elliptischen Kreisbüschel mit den Grundpunkten [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#a64d79][b]f#[/b][/color]; [br][/size][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f#[/b][/color][/size] erhält man als Spiegelbild von [color=#00ff00][b]f[/b][/color] an den [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color]![br]Fällt [/size][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f#[/b][/color][/size][/size] mit [math]\infty[/math] oder mit 1 zusammen, so ist die zugehörige Quartik [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierte[/b][/i][/color] einer [b]CASSINI[/b]-Quartik. [br][br][color=#38761D][i][b]Gleichungen:[/b][/i][/color][br][list][*][color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] zur [color=#980000][i][b]y-Achsen-Symmetrie[/b][/i][/color]: [math]x^2+y^2-\frac{s^4-1}{f\cdot s^2}\cdot x+\frac{1}{f^2}=0[/math][/*][*][color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] zur Symmetrie am [color=#980000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]: [math]x^2+y^2-\frac{2\cdot f\cdot\left(s^2-1\right)^2}{4\cdot f^2\cdot s^2-\left(s^2+1\right)^2}\cdot x-\frac{f^2\cdot\left(s^2+1\right)^2-4\cdot s^2}{4\cdot f^2\cdot s^2-\left(s^2+1\right)^2}=0[/math][br][/*][*][color=#0000ff][i][b]Leitkreis [/b][/i][/color]zur [color=#980000][i][b]elliptischen Symmetrie[/b][/i][/color]: [math]x^2+y^2-\frac{2\cdot f\cdot\left(s^2+1\right)^2}{4\cdot f^2\cdot s^2-\left(s^2-1\right)^2}\cdot x-\frac{f^2\cdot\left(s^2-1\right)^2-4\cdot s^2}{4\cdot f^2\cdot s^2-\left(s^2-1\right)^2}=0[/math][br][/*][*][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f#[/b][/color][/size][/size][/size]: [math]f#=\frac{f^2\cdot\left(s^4+1\right)-2\cdot s^2}{f\cdot\left(2\cdot f^2\cdot s^2-s^4-1\right)}[/math][br][/*][*] [size=85][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f# = [math]\infty[/math][/b][color=#000000], dann ist[/color][b] [math]s=\sqrt{f^2+\sqrt{f^4-1}}[/math] [/b][color=#000000][br]und man erhält die [b]CASSINI[/b]-Gleichung [math]\left|z-f\right|^2\cdot\left|z+f\right|^2=\left|z^2-f^2\right|^2=f^4-1[/math] .[br]Die [b]CASSINI[/b]-Quartik kann man mit der komplexen [color=#9900ff][i][b]Wurzelfunktion[/b][/i][/color] "konstruieren"![/color][/color][/size][/size][/size][/size][/*][*][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][color=#000000][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f#[/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size] = 1, dann ist [math]s=\frac{\sqrt{\sqrt{f^2+1}\cdot\left(f-1\right)+f^2-f+1}}{\sqrt{f}}[/math] [br]und man erhält die Gleichung [math]\left(x^2+y^2\right)^2-\frac{2\cdot\left(f^2-f+1\right)}{f}\cdot x^2-\frac{2\cdot\left(f^2+f+1\right)}{f}\cdot y^2+1=0[/math] [/color][/color][/size][/size][/size][/size][/*][/list][br]Die übrigen [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] können mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] "konstruiert" werden![br][br]Die Gleichungen wurden ohne großen Aufwand mit der längst vergangenen [color=#980000][b]CAS[/b][/color]-Software [color=#980000][i][b][math]\overrightarrow{ DERIVE }[/math][/b][/i][/color] berechnet![/size]

[size=85][right][size=50][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [br][/size][/b][/i]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](16.10. 2019, verbessert 09.11.)[br][/b][/color][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][color=#ff0000][i][b][size=50]Die Wirkung der Schalter erfolgt meist sehr verzögert![/size][/b][/i][/color][br][br]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] von 4 verschiedenen Punkten [math]e_1,e_2,e_3,e_4\in\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math] - identisch mit der [i][b][br] absoluten Invariante[/b][/i] von [color=#0000ff][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color] des Typs [math]\left(w'\right)^2=\left(w-e_1\right)\cdot\left(w-e_2\right)\cdot\left(w-e_3\right)\cdot\left(w-e_4\right)[/math] - [br]führt auf eine interessante [color=#274E13][i][b]konforme[/b][/i][/color], also [color=#9900ff][i][b]komplex-differenzierbare Funktion[/b][/i][/color], die wir im Applet oben versuchen darzustellen.[br][br]Die Lage von 4 [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] [math]z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C}[/math] in der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math] ist - unter Berücksichtigung der [i][b]Reihenfolge[/b][/i] - [br]eindeutig festgelegt durch ihr [color=#9900ff][i][b]komplexes Doppelverhältnis[/b][/i][/color] [math]d=Dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\cdot\frac{z_2-z_4}{z_1-z_4}[/math].[br]D.h.: Stimmen für 2 Punkte-Quadrupel [math]\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)\mbox{ und }\left(w_1,w_2,w_3,w_4\right)[/math] die [color=#9900ff][i][b]Doppelverhältnisse[/b][/i][/color] überein, [br]so gibt es genau eine gleichsinnige [color=#9900ff][i][b]Möbius-Transformation[/b][/i][/color], welche die Punkte aufeinander abbildet[br] - unter Beibehaltung der Reihenfolge![br]Bei Umsortieren der 4 Punkte treten als Doppelverhältnis folgende Werte auf:[br][/size][list][*][size=85] [math]d,\frac{1}{d},1-d,\frac{1}{1-d},\frac{d}{1-d},\frac{1-d}{d}[/math] mit [math]d=Dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)[/math].[br][/size][/*][/list][size=85]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] von 4 [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] berechnet sich mit Hilfe dieses [color=#9900ff][i][b]Doppelverhältnisses[/b][/i][/color]: [br][/size][list][*][size=85] [math]J=\frac{1}{27}\cdot\left(\frac{d+1}{d-1}\right)^2\cdot\left(\frac{d-2}{d}\right)^2\cdot\left(2d-1\right)^2[/math].[br][/size][/*][/list][size=85][color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] lassen sich nur dann durch eine [color=#9900ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] auf [color=#ff0000][i][b]4 andere Punkte[/b][/i][/color] abbilden, [br]wenn deren [i][b]absolute Invarianten[/b][/i] übereinstimmen! [size=50]Siehe dazu das [color=#980000][i][b]book-Kapitel[/b][/i][/color] [math]\hookrightarrow[/math] "[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168947]möbiusebene Lage von 4 Punkten[/url]".[/size][br][br]Zu [color=#ff0000][i][b]4 verschiedenen Punkten[/b][/i][/color] gibt es ein [math]\hookrightarrow[/math] [i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/uQfTt4c6]euklidisches KOS[/url][/b][/i], in welchem die Punkte [br]durch [math]f,\frac{1}{f},-f,-\frac{1}{f};f\in\mathbb{C}[/math] dargestellt werden; wir nennen dies: [color=#9900ff][i][b]Darstellung in Normalform[/b][/i][/color]! [br]Die [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] besitzen damit das [color=#9900ff][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color] [math]d=\frac{4\cdot f^2}{\left(1+f^2\right)^2}[/math]. [color=#ff7700][size=50](verbessert: 09.11.)[/size][/color].[br][br]Wir untersuchen das [color=#9900ff][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color] [math]d[/math] und die [i][b]Absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] als [color=#980000][i][b]komplexe Funktion[/b][/i][/color] von [math]z=f[/math].[br][br]Die komplex-differenzierbare Funktion [math]z\mapsto \mathbf{\mathcal{J}}\left(z\right)[/math] wird als Quotient zweier Polynome von ziemlich hoher Ordnung [br]natürlich nur mit ziemlich großem Rechenaufwand darstellbar sein; daher ist im Applet oben vorgesehen, [br]dass die Eigenschaften in Abhängigkeit von den Parametern nur schrittweise zu erkunden sind![br][br]Einige Eigenschaften von [math]z\mapsto \mathbf{\mathcal{J}}\left(z\right)[/math]:[br][/size][list][*][size=85]Die Funktion [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] ist invariant unter der [color=#674ea7][i][b]OKTAEDER-Gruppe[/b][/i][/color]: man betrachte die [color=#ff00ff][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color]! [br]Die [/size][size=85][color=#674ea7][i][b]OKTAEDER-Gruppe[/b][/i][/color] besteht aus 24 [color=#ff00ff][i][b]Kreis-Spiegelungen[/b][/i][/color] und 24 gleichsinnigen [color=#9900ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color]; [br]ein Punkt [math]z_0[/math] besitzt in der Regel 47 Bilder! Für alle diese Punkte [math]z'_0[/math] gilt: [br][math]\mathbf{\mathcal{J}}\left(z'_0\right) = \mathbf{\mathcal{J}}\left(z_0\right)[/math] oder [math]\mathbf{\mathcal{J}}\left(z'_0\right) = \overline{\mathbf{\mathcal{J}}\left(z_0\right)}[/math].[/size][/*][*][size=85]Die Funktion [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] bildet das Innere des [color=#980000][i][b]Kreis-Dreiecks[/b][/i][/color] [color=#980000][b]prs[/b][/color] auf die [color=#38761D][i][b]obere Halbebene[/b][/i][/color] [math]y>0[/math] ab.[br]Der [color=#980000][i][b]Rand des Dreiecks[/b][/i][/color] wird abschnittsweise auf die [color=#980000][i]reelle Achse[/i][/color] abgebildet![/size][/*][*][size=85]Die Funktion [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] beschreibt die Lage der [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] [math]z,-z,\frac{1}{z},-\frac{1}{z};\; z\ne1[/math]: ist [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] reell und [math]\ge0[/math], [br]so liegen die [color=#ff0000][i][b]Punkte [/b][/i][/color]auf dem [color=#980000][i]Einheitskreis[/i][/color] oder den [color=#980000][i]Achsen[/i][/color]; [br]also allgemein: ist die [i][b]absolute Invariante [/b][/i]eine nicht-negative reelle Zahl, so sind die [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color]! [br]Ist die [i][b]Absolute Invariante[/b][/i] negativ, so liegen die [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color]. [br][u][i]Sonderfall[/i][/u] [math]\mathbf{\mathcal{J}}=-1[/math]: Die [color=#ff0000][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] sind [color=#9900ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] die Ecken eines [color=#0000ff][i][b]Tetraeders[/b][/i][/color].[br][/size][/*][*] [size=85][u][i]Sonderfall[/i][/u] [/size][math]\mathbf{\mathcal{J}}=0 [/math][size=85]: Sind die [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] verschieden, so besitzen sie [color=#0000ff][i][b]harmonische Lage[/b][/i][/color]! [br]Sie sind sowohl [color=#ff7700][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color], als auch liegen sie [color=#ff7700][i][b]spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color]![/size] [/*][/list][br][size=85]Siehe auch [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna#material/nr4mvcre]J-Funktion2[/url][/size]

[right][size=85][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]october 2021[/color][/size][/b][/i][/size][size=85][size=50][br]Diese Seite ist auch eine Aktivität des [color=#cc0000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] [/size][/size][/size][size=50][size=50][color=#ff7700][b](Juli 2019)[/b][/color][/size][/size][/right][size=85][br] [br][table][tr][td][size=85]Die [b]Kutta-Schukowski-[color=#0000ff][i]Transformation[/i][/color][/b] wird im Zusammenhang mit der Untersuchung von [i][b]Tragflügel-Profilen[/b][/i] häufig verwendet, ("Joukowski" in anderer Schreibweise!)[br]siehe [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Kutta-Schukowski-Transformation]https://de.wikipedia.org/wiki/Kutta-Schukowski-Transformation[/url][br] oder [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Profil_(Str%C3%B6mungslehre)]https://de.wikipedia.org/wiki/Profil_(Strömungslehre)[/url][br][br] Im [color=#980000][i][b]Applet oben[/b][/i][/color] wird das Bild der Achsenparallelen [math]x=const[/math] und [math]y=const[/math][br]angezeigt, zum Vergleich; [math]z\mapsto \sin\left(z\right)[/math] und die Joukowski-Transformation [math]z\mapsto z+\frac{1}{z}[/math] [br][br] Im [color=#980000][i][b]Applet unten[/b][/i][/color] kann man die Wirkung der Transformation auf einen Kreis erkunden![/size][/td][td][img]data:image/png;base64,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Bewege den [color=#0000ff][i][b]Kreis[/b][/i][/color]![br][/size][br]