[list=1][*]Da der Grenzerlös - also die erste Ableitung der Erlösfunktion gegeben ist, gilt es den Grenzerlös zu integrieren, um auf die Erlösfunktion zu kommen. Denn Integrieren ist die Gegenoperation zum Ableiten:[br][math]E(x)=\int E'(x) dx = \int(-10\,x + 100)dx = -5 \,x^2+ 100 \,x + c[/math][br]Da bei Erlösfunktionen immer gilt: [math]E(0)=0[/math], ist die Integrationskonstante hier [math]c = 0[/math][br][br]Damit lautet die Erlösfunktion [math]E(x)= -5 \,x^2+ 100 \,x [/math][br][/*][br][*][br]Um die Preisfunktion zu erhalten, müssen wir nur die Erlösfunktion durch [math]x[/math] teilen:[br][math]p(x)=\frac{E(x)}{x}=-5 x + 100[/math][br][/*][/list]

Auch hier gilt es wieder zu Integrieren:[br][math]K(x)=\int K'(x)dx=\int(3x^2-20x+40)dx=x^3-10x^2+40x+c[/math][br][br]Hier muss nun aber die Integrationskonstante [math]c[/math] genauer betrachtet werden: [br]Setzen wir in die oben berechnete Funktion für [math]K(x)[/math] die Warenmenge Null ein, dann sollten wir die Fixkosten [math]K_{fix}[/math] erhalten: [math]K(0)=0^3-10\cdot0^2+40\cdot0+c=[br]\underline{\underline{c=K_{fix}}}[/math][br]Hier ist also zu sehen, dass die [color=#980000][b]Integrationskonstante gleich den Fixkosten[/b][/color] ist.[br][br]Also lautet die Kostenfunktion:[br][math]K(x)=x^3-10x^2+40x+200[/math]

Wie oben, müssen wir zuerst integrieren:[br][math]G(x)=\int G'(x) dx =\int (-3 \; x^{2} + 10 \; x + 60)dx = -x^3 + 5 x^2 + 60 x + c [/math][br][br]Und wieder die Frage: Wie groß ist die Integrationskonstante [math]c[/math]?[br]Dazu betrachten wir wieder [math]G(0)= -0^3 + 5\cdot 0^2 + 60\cdot 0 + c = - K_{fix}[/math]. [br]Also haben wir auch hier wieder eine geeignete Integrationskonstante gefunden: [math]c = -K_{fix}[/math][br][br]Damit lautet die Gewinnfunktion:[br][math]G(x)=-x^{3} + 5 \; x^{2} + 60 \; x - 200[/math]