Se presenta al alumnado como "El problema más fácil del curso" pero contiene un pequeño secreto. Conseguir un polígono en el interior de un cuadrado cuya área sea la mitad se puede convertir en un reto tan difícil como queramos, entrar en problemas numéricos, geométricos, algebraicos o estocásticos tan complicados como queramos, pasar por el infinito, por los fractales. Y llegar más allá: comunicar matemáticas, realizar conexiones, resolver problemas, generalizar, investigar, probar, demostrar... En resumen, hacer matemáticas como las hacen los matemáticos. Se puede convertir en toda una aventura. Primera y Segunda sesiones.  Enunciado y primeros resultados. El enunciado se encuentra en https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#material/anpyftkn y es el siguiente: Dado un cuadrado, una forma de obtener, dentro de él, un polígono cuya área sea la mitad, consiste en:  Tomar los puntos medios de dos lados opuestos, y unirlos con un segmento.  Obtenemos un rectángulo como el de la imagen:

Para cada nueva solución los alumnos deben aportar:

• Un dibujo a mano o la construcción con el software matemático GeoGebra,
• El nombre del polígono obtenido,
• El procedimiento escrito en forma de secuencia de instrucciones. Se les pide además,
• La justificación de su solución, es decir, por qué su polígono es la mitad del cuadrado siempre que la explicación se encuentre al nivel de los estudiantes.

Investiga nuevos procedimientos. Metodología de trabajo: La propuesta revisa los conocimientos geométricos que los estudiantes han adquirido en primaria y continúa su avance con la reflexión sobre las relaciones entre los elementos geométricos. Se puede trabajar desde el principio con GeoGebra: hacer cuadrados con la herramienta polígono regular y situar puntos en ese cuadrado para construir polígonos de área la mitad. También se puede iniciar la sesión con papel cuadriculado, dibujar cuadrados y polígonos de área mitad. Durante el trabajo inicial es importante que el profesor haga hincapié en las cuatro peticiones que hacen el enunciado.

• Son válidos tanto dibujos a mano alzada sobre papel cuadriculado como construcciones de GeoGebra,

• Algunos nombres son fáciles aunque el cuadrado y el rombo, por muy sencillos que parezcan, pueden surgir dificultades (ver https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#material/ggsxarnx) En otros, como el paralelogramo (que no recuerdan) o el trapecio (que solo identifican con el trapecio isósceles), habrá que sacarlos de los rincones de su memoria.
• El procedimiento es fundamental en el proceso de hablar de matemáticas. Se puede pedir a los alumnos que lo cuenten por teléfono (sin imágenes, sin gesticular, solo con palabras) y hacerlo lo más rápido y conciso posible para no extenderse en largas disertaciones que aburren.
• Justificar que es la mitad sería para el nivel de los alumnos lo que para los matemáticos es demostrar. Se pueden aceptar tanto algebraicos (manipular las fórmulas de área) y también ideas geométricas (si damos “la vuelta al cuadrado, una parte queda encima de la otra). Todo depende del nivel de los alumnos y del tiempo que le dediquemos al problema.
• El trabajo del profesor consiste en pasear entre las mesas hablando con los alumnos, dejar claras las advertencias anteriores, resolver algunas dudas y, cuando ve que un resultado lo ha obtenido más de un alumno, animarle a salir a la pizarra para compartirlo con la clase. Recordamos: dibujo, nombre, procedimiento y justificación (ésta última cuando sea posible), Insistir en que un alumno/a propone y el resto de la clase le ayuda.

Más comentarios para el profesor en https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#material/wpzknrsq  y también en https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#material/hcanryup, ambas de este libro. La continuación del trabajo puede venir de la búsqueda de nuevos polígonos dentro del cuadrado, han aparecido rectángulos triángulos de varios tipos, trapecios, polígonos de muchos lados. Hay otros polígonos conocidos que aún no han aparecido. La propuesta de trabajo puede animar a considerar polígonos de distinto número de lados, a que consigan polígonos cóncavos. También podemos proponer figuras conocidas que puede que no hayan aparecido hasta ahora como el rombo, el trapecio isósceles, el paralelogramo, el pentágono o el hexágono. La pregunta podría ser:  ¿Qué otros polígonos conocidos podríamos encontrar en el interior del cuadrado cuya área sea la mitad? Algunas ideas que surgen, unas veces de los alumnos y otras a partir de ciertas “ayudas” del profesor para que se den cuenta que ciertos dibujos que han realizado contienen ideas que pueden hacer aflorar si reflexionan sobre las consecuencias de su trabajo En esta dirección tenemos un capítulo de la web dedicado a este tema con ejemplos, soluciones y comentarios de lo experimentado en las clases. Tercera sesión (opcional). Las ideas matemáticas Esta parte puede enfocarse bajo la idea de profundizar en ideas matemáticas como la simetría y en procedimiento que ponen en marcha los matemáticos en su trabajo (generalizar, verbalizar ideas matemáticas, resolver problemas, investigar o demostrar y todo eso al nivel de los estudiantes). En una de las secciones de La Mitad https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#chapter/820881 se expone el trabajo en clase alrededor de estos temas.

• Generalizar: de la misma forma que se generaliza desde el triángulo rectángulo y el isósceles hacia cualquier punto en del lado superior para el triángulo, hay otras soluciones que se pueden generalizar.  En la siguiente imagen tenemos varios pasos en el proceso de generalización. Ver en https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#material/twfsv2fn .

También hay un apartado dedicado a la demostración, pero no es necesario tratar todos los temas mencionados. Si no disponemos de mucho tiempo, es mejor centrarse en uno de ellos, el que se vea que la clase tiene más soltura y/o están más interesados. Cuarta y quinta sesiones. Movimientos en el plano: nuevas soluciones y mosaicos En algunas clases, hay alumnos que se dan cuenta que pueden repetir una solución para encontrar nuevas soluciones: dividir el cuadrado en cuatro cuadrados más pequeños y en cada uno de ellos repetir una de las soluciones que han encontrado. También es válido encontrar procedimientos a partir de combinaciones con varias soluciones anteriores:

En estos casos es interesante recapacitar sobre los movimientos que se realizan para pasar de una figura a la de al lado: a veces se hace por traslación (Cuánto de lejos se traslada y en qué dirección), por simetría (respecto de qué eje) o rotación (cuánto giramos y alrededor de qué punto) o combinaciones de estos movimientos. Este es un trabajo inicial sobre los movimientos (isometrías) en el plano que podemos ver en https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#material/y5eynswb . Se puede proponer el estudio de los movimientos en los azulejos de cerámica. Como ejemplo se registran las diferentes simetrías en azulejos del Museo de Cerámica de Onda. Ver https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#material/xyedpqrj . También tenemos un estudio parecido sobre los mosaicos de la Alhambra en https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#material/pub4jnj2 . Se puede proponer una última fase del trabajo que consiste en seleccionar algunas de las soluciones encontradas para la mitad del cuadrado y realizar composiciones 3x4 con ellas con la ayuda de las herramientas de GeoGebra con el fin de formar mosaicos en los que la superficie pintada sería exactamente la mitad. Tenemos ejemplos de alumnos en https://www.geogebra.org/m/jhuetqyn#material/jz3kbze5 . Sexta sesión. Preparación del trabajo final. El proceso acaba con la entrega de un trabajo con soluciones para la mitad del cuadrado en el que deben aportar dibujo, nombre del polígono, procedimiento y justificación. Y también con varios mosaicos realizados a partir de las soluciones obtenidas Es difícil proponer de antemano la cantidad de soluciones puede ser fijada por el profesor o entre el profesor y los alumnos y debe responderá al trabajo realizado en clase. También se puede preparar una prueba escrita en el que el estudiante tenga que dar la solución para dos o tres de las figuras que se han encontrado a lo largo del proceso La evaluación tendrá en cuenta la calidad, concisión y precisión de las descripciones aportadas, los dibujos realizados, los razonamientos y las generalizaciones expuestas, y otros elementos como el que el estudiante se haya esforzado en utilizar el software ya que ese aprendizaje de traducción de las ideas matemáticas hacia las herramientas de GeoGebra será muy positivo para su avance posterior