TEOREMA DE LA ALFOMBRA
Este libro está destinado para ser utilizado en dos sesiones de ESTALMAT Ávila con los alumnos de segundo año que hemos impartido María Jesús Ferrero y Rubén Jiménez. Las ideas y guiones han sido obtenidos del libro [b]MATEMÁTICAS PARA ESTIMULAR EL TALENTO MATEMÁTICO II[/b]. [b]ACTIVIDADES DEL PROYECTO ESTALMAT[/b]. En concreto, el capítulo sobre "El Teorema de la alfombra" de [b]Antonio Ledesma López[/b].[color=#1551b5][/color] [b]INTRODUCCIÓN[/b] Si colocamos una alfombra sobre otra de igual área, las superficies que no se superponen en cada alfombra son iguales. Si dos alfombras cubren cierto piso y se mueven llevando una sobre parte de la otra, la superficie superpuesta es igual a la suma de las superficies que no cubre ninguna de las dos alfombras.
Table of Contents
- Documentación
- Presentación
- Para abrir boca
- Teorema de la alfombra 1
- Teorema de la alfombra 2
- Construyo los rectángulos
- Nos vamos acercando
- Teorema de la alfombra 3
- Construyo el modelo anterior
- Parece más complicado, pero...
- Teorema de la alfombra 4
- Teorema de la alfombra 4. Solución exacta
- Dos de trapecios y circunferencias
- ¿Qué relación hay entre las áreas sombreadas?
- Construye el trapecio y simula la actividad anterior
- Intersección de circunferencias
- Teorema de la alfombra
- Teorema de la alfombra. Segundo enunciado
- Teorema de la alfombra: paralelogramos 1
- Reproduce el problema del paralelogramo 1
- Teorema de la alfombra: paralelogramos 2
- Reproduce el problema del paralelogramo 2
- Teorema de la alfombra: paralelogramos 3
- Reproduce el problema del paralelogramo 3
- Teorema de la alfombra: paralelogramos 4
- Teorema de la alfombra: paralelogramos 5
- Teorema de la alfombra: trapezoide
- Postre
- Teorema de las Alfombras (2)
- Teorema de las Alfombras (3)
- Teorema de las Alfombras (4)
Presentación
Este libro lo hemos utilizado para dar dos sesiones de ESTALMAT Ávila para los alumnos de segundo año.[br]Teníamos dos objetivos en estas sesiones:[br][list][*]Por un lado, que dedujeran matemáticamente la relación entre las áreas de cada uno de los ejercicios propuestos. En cada ejercicio generábamos un debate sobre esta circustancia.[/*][*]Por otro lado queríamos que utilizaran GeoGebra para la construcción de los ejercicios propuestos y conjeturaran sobre las soluciones. Hacemos mucho hincapié en las propiedades geométricas de los polígonos a construir, de modo que cuando los profesores les movíamos los vértices los rectángulos, trapecios o romboides no perdieran sus propiedades.[/*][/list]A continuación os adjuntamos la presentación que hemos utilizado como acompañamiento para la actividad.[br]
ESTALMAT SEGUNDO CURSO.2023. TEOREMA DE LA ALFOMBRA 2
Teorema de la alfombra 1
Para abrir boca.[br]En la figura se muestran dos rectángulos, ¿eres capaz de deducir cuál es el área de ambos rectángulos?
ÁREA DEL RECTÁNGULO ROJO
¿Cuál es el área del rectángulo rojo?
Teorema de la alfombra 3
Mueve el punto P y conjetura sobre la pregunta del enunciado.[br]Haz clic en la solución y mueve el deslizador para comprobar tu conjetura.
Teorema de la alfombra 4
El problema que se nos plantea ahora es el siguiente:[br][color=#674ea7]Los lados del triángulo rectángulo de la figura miden 6, 8 y 10 cm y sobre él se traza un círculo de forma que la superficie interior al círculo pero[br]exterior al triángulo rectángulo mide lo mismo que la superficie del interior del triángulo rectángulo pero exterior al círculo. Determina la longitud del radio del círculo.[/color][br]Vamos a realizar una primera aproximación al problema, para ello construyamos un triángulo y un círculo como indica el enunciado de modo que el radio sea variable y lo podamos controlar con un deslizador.
¿Crees que el radio varía dependiendo de dónde coloquemos el centro de la circunferencia?
¿Qué relación hay entre las áreas sombreadas?
En esta actividad hemos conjeturado con la relación entre las áreas de los triángulos coloreados.[br]Aquí puedes ver una demostración sin palabras. ¿Puedes explicar porqué las dos áreas son iguales viendo la demostración?
Teorema de la alfombra. Segundo enunciado
Recordamos que el teorema de la alfombra dice:[br][quote][b]Si dos alfombras cubren cierto piso y se mueven llevando una sobre parte de la otra, la superficie superpuesta es igual a la suma de las superficies que no cubren ninguna de las dos alfombras.[/b][/quote]En esta construcción te presentamos dos alfombras, una [color=#ff0000]roja[/color] y otra [color=#38761d]verde[/color] que cubren el suelo de una habitación. Hemos creado otra copia de la alfombra verde para que la puedes mover y girar sobre el suelo de la habitación.[br]La alfombra [color=#ff0000]roja[/color] la puedes mover para hacer más grande o más pequeña.[br]Te pedimos que, con las herramientas de las que dispones, superpongas la alfombra [color=#38761d]verde[/color] sobre parte de la roja y dentro de la habitación, dibujes los polígonos correspondientes a la parte superpuesta y la parte que no se cubre de la habitación y compruebes, que efectivamente, ambas superficies son iguales.[br][br][b]NOTA:[/b] el botón reiniciar te permitirá volver a la situación de partida de la actividad.
Teorema de las Alfombras (2)
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Imagina dos alfombras con las que cubres por completo el suelo de una habitación. Mueves una de ellas, de modo que una parte de la misma quede solapada sobre la otra y, en consecuencia, una parte del suelo destapada. La superficie de la habitación que queda sin tapar es igual a la superficie solapada por las dos alfombras. Ese resultado es conocido como el [b][color=#c51414]Teorema de las Alfombras[/color][/b] y es un recurso extraordinario para resolver algunos problemas geométricos. Aquí te proponemos uno: |
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Mueve los puntos M, N y P. Observa que cambian las partes sombreadas en azul y en rojo. Sin embargo, si calculas la suma de las áreas sombreadas en azul y le restas el área de la parte sombreada en rojo... el resultado siempre es constante!! ¿Sabrías demostrar por qué? |