Een tweede benadering is: "Kunnen we een octaaf zo onderverdelen dat alle toontrappen gelijk zijn en tegelijk rein (of toch minstens zo rein mogelijk) klinken?"[br]Net zoals in de tijd van Pyhtagoras zijn het ook nu wiskundigen en natuurkundigen die aan de kar trekken,[br]zoals de vader van Galileo Galilei, Simon Stevin, Christiaan Huygens, Descartes en Leonard Euler.[br]Hun benadering komt er op neer een octaaf in zoveel stapjes onder te verdelen dat de kwint samenvalt[br]met een van die stapjes en liefst ook de kwart en de terts.[br]Huygens gebruikt een kettingbreuk om de kwintverhouding [sup]4[/sup]√5  van de middentoonstemming  te noteren.[br][img width=232,height=107]https://wiskunde-interactief.be/images/muziek_kettingbreuk.png[/img][br][br]De gedachte achter de kettingbreuknotatie is dat een reëel getal de som is van een geheel getal en een getal tussen 0 en 1. Dit deel kan geschreven worden als een breuk.[br]Deze breuk schrijven we als het omgekeerde van zijn omgekeerde: a/b = 1/(b/a).[br]Het uitwerken van b/a geeft weer een decimaal getal, enzovoort. Zo ontstaat een kettingbreuk.[br]Elke stap in de benadering noemt men een convergent en vormt een breukbenadering van het decimaal getal. Huygens vond de breuken: 1/2  3/5  4/7  7/12  11/19  18/31  101/174  119/205.[br]Meer uitleg over kettingbreuken en de benadering van Huygens vind je in de volgende pagina's van dit hoofdstuk[br][br]Je kan een octaaf dus onderverdelen in 205 stapjes, maar instrumenten maken met deze verdeling is wat anders. Huygens stelt voor om een octaaf in 31 toontrappen te verdelen, zodat je op elk instrument muziek kan spelen in om het even welke toonaard.[br]Joan Albert Ban, priester en bevriend met Descartes en Huygens, ontwikkelde het "Volmaekte Klaeuwier".[br]Omdat de afstand tussen de tonen en de omvang niet te groot zou worden, ontwerpt hij tussenliggende toetsen die boven elkaar liggen in verschillende rijen.[br][img width=430,height=244]https://wiskunde-interactief.be/images/muziek_Banklavier.png[/img][br]De benaderingen van kwint, kwart en terts van Huygens zijn heel knap.[br][table][tr][td]toontrap[/td][td]verhouding[br]Huygens[/td][td]verhouding[br]rein[/td][td]frequentie[br]Huygens[/td][td]frequentie[br]rein[/td][td]frequentie[br]gelijkzwevend[/td][/tr][tr][td]kwint[/td][td]2[sup](18/31)[/sup] = 1,4955      [/td][td]3/2 = 1,5[/td][td][b]658 Hz[/b][/td][td][b]660 Hz[/b][/td][td][b]659 Hz[/b][/td][/tr][tr][td]kwart     [/td][td]2[sup](13/31)[/sup] = 1,3373[/td][td]4/3 = 1,333[/td][td][b]588 Hz[/b][/td][td][b]587 Hz[/b][/td][td][b]587 Hz[/b][/td][/tr][tr][td]terts[/td][td]2[sup](10/31)[/sup] = 1,2505[/td][td]5/4 = 1,25[/td][td][b]550 Hz[/b][/td][td][b]550 Hz[/b][/td][td][b]554 Hz[/b][/td][/tr][/table][br]Ban kon zo onzuiverheden opvangen zonder compromissen te doen, maar een succes werd zijn uitvinding niet. Het instrument bleek toch niet zo praktisch.