Das Integral [math]\int\limits_a^b f(x) dx[/math] ist die Flächenbilanz (man sagt auch die [i]gerichtete Fläche[/i]) zwischen der Abszisse und dem Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] im Intervall [math]x \in [a;b][/math].[br][br]Wenn man ein Rechteck im Intervall [math][a;b][/math] zeichnet [br][list][*]dessen Grundseite auf der Abszisse liegt[/*][*]das die gleiche Flächenbilanz oder die gleiche gerichtete Fläche hat wie [math]f(x)[/math] [/*][/list]dann ist die die Höhe dieses Rechteckes [b][color=#980000]der mittlere Funktionswert[/color] [/b]der Funktion [math]f(x)[/math] im Intervall [math][a;b][/math].[br]Daher berechnet man den Mittelwert einer Funktion in einem Intervall [math][a;b][/math] mit[br][math]\overline f_{ab}=\frac 1{b-a} \cdot\int\limits_a^b f(x)\, dx[/math][br]In der folgenden App kann man die graphische Darstellung so eines Mittelwertes sehen. Das Rechteck hat immer die gleiche Größe, wie die Flächenbilanz unter [math]f(x)[/math] im Intervall [math][a;b][/math]. Schieben Sie die Punkte [math]a[/math] und [math]b[/math] hin und her und Sie sehen, wie ich der Mittelwert verändert. [br]

Gegeben ist die Funktion [math]f[/math] mit der Funktionsgleichung [math]f(x)=\frac{1}{2} \; x^{3} - \frac{3}{2} \; x^{2} - \frac{1}{2} \; x + \frac{3}{2}[/math]. [br]Gesucht ist der Mittelwert im Intervall [math]\left[-\frac 12;2\right][/math].[br][math]\begin{array}{ll}[br]\bar f_{[-\frac 12;2]}&=\frac 1{2-(-\frac 12)}\cdot \int\limits_{-0,5}^2 \frac{1}{2} \; x^{3} - \frac{3}{2} \; x^{2} - \frac{1}{2} \; x + \frac{3}{2}\,dx\\[br]&=\frac 1{\frac 52}\cdot\left[\frac{1}{8} \; x^{4} - \frac{1}{2} \; x^{3} - \frac{1}{4} \; x^2 + \frac{3}{2}\;x\right]_{-\frac 12}^2\\[br]&=\frac 25 \cdot\left[ \frac{1}{8} \; 2^{4} - \frac{1}{2} \; 2^{3} - \frac{1}{4} \; 2^2 + \frac{3}{2}\;2-\left(\frac{1}{8} \; \left(-\frac 12\right)^{4} - \frac{1}{2} \; \left(-\frac 12\right)^{3} - \frac{1}{4} \; \left(-\frac 12\right)^2 + \frac{3}{2}\;\left(-\frac 12\right)\right) \right]\\[br]&=\frac 25 \cdot\left[ \frac 18 \cdot 16- \frac 12\cdot 8-\frac 14\cdot 4+3-\left(\frac 18\cdot \frac 1{16}- \frac 12\cdot\left(- \frac 18\right) -\frac 14\cdot \frac 14-\frac 32\cdot \frac 12\right)\right]\\[br]&=\frac 25 \cdot\left[ 2-4-1+3-\left( \frac 1{128}+\frac 1{16}-\frac 1{16}-\frac 34\right)\right]\\[br]&=\frac 25 \cdot\left[ 0- \left(\frac 1{128}-\frac {96}{128}\right)\right]\\[br]&=\frac 25 \cdot\frac{95}{128} = \underline{\underline{\frac{19}{64}\approx 0,2969\approx 0,30}}[br]\end{array}[/math][br]