В тетраэдре DABC точка М - середина DA, РDС и DР:РС=1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М и Р и параллельно ВС. Найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.
BD = AD = CD = AB = CA = BC = a = равны по длине[br]Треугольник KMP - равнобедренный[br]Треугольник ABD - равносторонний[br]DM = [math]\frac{a}{2}[/math][br]KM = MP[br]KD = KP = PD = [math]\frac{a}{4}[/math][br][math]\angle MDK=\angle ABD=60^\circ[/math][br][br][b]По теореме косинусов:[br][/b][math]KM^2[/math] = DM[sup]2[/sup] + KD[sup]2[/sup] - 2 * DK * D * cos[math]\angle MK[/math][br] [math]KM^2[/math]= (a/2)[sup]2[/sup] + (a/4)[sup]2[/sup] - 2 * a/2 * a/4 * cos∠60° = a[sup]2[/sup]/4 + a[sup]2[/sup]/16 - 2 * a[sup]2[/sup]/8 * 0.5 = a[sup]2[/sup]/4 + a[sup]2[/sup]/16 - a[sup]2[/sup]/8 = [math]\frac{3a^2}{16}[/math][br]KM = MP = [math]\frac{\sqrt{3a^2}}{16}[/math] = [math]\frac{a\sqrt{3}}{4}[/math][br][br][b]По теореме Пифагора:[br][/b]h (KMP) = [math]\sqrt{MK^2}[/math] - (0.5KP)[sup]2[/sup] [br]h = [math]\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)}^2-\left(\frac{a}{4}\times0.5\right)^2[/math][br][sup][br][/sup]h = [math]\sqrt{\frac{3a^2}{16}}-\frac{a^2}{64}=\sqrt{\frac{11a^2}{64}}=\frac{a\sqrt{11}}{8}[/math][br][br]S (KMP) = h0.5 * KP = 0.5 * [math]\frac{a\sqrt{11}}{8}[/math] * [math]\frac{a}{4}[/math] = [math]\frac{a^2\sqrt{11}}{64}[/math][br][b]Ответ: [/b]S (треугольник KMP) = [math]\frac{a^2\sqrt{11}}{64}[/math][br]
В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 основание АВСD - квадрат со стороной, равной 8 см, остальные грани прямоугольники, боковое ребро равно 3 см. Е - середина A1B1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью , проходящей через АС и точку Е, и найдите периметр сечения.
По Теореме Пифагора находим AC: [br]AC[sup]2[/sup] = √AB[sup]2[/sup] + BC[sup]2[/sup] = √8[sup]2[/sup] + 8[sup]2[/sup] = 8√2 (см)[br][br]FE - это редняя линия треугольника A1B1C1[br][br]FE = 0.5A1B1C1 = 0.5AC = 0.5 * 8√2 = 4√2 (см)[br][br]По Теореме Пифагора находим AE: [br]AE = FC = √AA1[sup]2[/sup] + (0.5A1B1)[sup]2[/sup] = √9 + 16 = 5 (см)[br][br]P (EAFC) = AC + FE + AE + CF[br]P (EAFC) = 8√2 + 4√2 + 5 + 5 = 10 + 12√2 (см)[br][br][b]Ответ:[/b] P (CAEF) = 10+12√2 (см)