La retta nel piano cartesiano
La retta nel piano cartesiano: dalla retta alla sua equazione e dall'equazione alla retta
Índice
- Equazione di rette particolari
- Definizione di equazione della retta
- Equazione dell'asse x
- Equazione dell'asse y
- Rette parallele all'asse x
- Rette parallele all'asse y
- Equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante
- Equazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante
- Test: equazione di rette particolari
- Retta passante per l'origine degli assi
- Equazione della retta passante per l'origine degli assi
- Esercitazione: riconosci il coefficiente angolare della retta
- Rifletti
- Esercitazione: retta passante per l'origine e per un punto assegnato
- Problema svolto
- Retta che non passa per l'origine degli assi
- Equazione di una retta che non passa per l'origine degli assi
- Significato geometrico di m e q
- Test: osserva il grafico e scrivi l'equazione della retta
- Equazione di una retta noto un punto e il suo coefficiente angolare
- Esercitazione: retta per un punto
- Equazione di una retta parallela ad una retta nota
- Esercitazione: retta parallela a una retta data
- Forma implicita e forma esplicita della retta
- Casi particolari dell'equazione ax+by+c = 0
- Dall'equazione al gafico
- Appartenenza di un punto alla retta
- Grafico di una retta di equazione assegnata
- Esercitazione: trova i punti della retta
- Esercitazione: traccia il grafico delle rette
- Esercitazione: traccia il grafico della retta di equazione y = mx+q
- Posizione reciproca di due rette
- Posizione reciproca di due rette
- Test: rette parallele
- Problema: determinare il punto di intersezione
- Prova tu
- Problema svolto 1
- Problema svolto 2
- Problema svolto 3
- Retta passante per due punti assegnati
- Coefficiente angolare di una retta passante per due punti assegnati
- Esercitazione: coefficiente angolare della retta per due punti assegnati
- Verifica
- Problema svolto1
- Problema svolto 2
- Problema svolto 3
- Equazione della retta passante per due punti assegnati
- Esercitazione: retta per due punti
- Condizione di allineamento di tre punti
- Problema svolto 4
- Problema svolto 5
- Rette perpendicolari
- Condizione di perpendicolarità
- Test: rette perpendicolari
- Problema: retta per un punto perpendicolare a una retta data
- Distanza punto retta
- Distanza dell'origine da una retta assegnata
- Distanza di un punto da una retta assegnata
- Problema svolto
Definizione di equazione della retta
[size=150]Nel piano cartesiano ad ogni curva è associata una [b]equazione[/b]:[br][br][i][color=#ff0000][center][b]la legge che lega le coordinate di tutti e soli i punti che appartengono alla curva[/b][/center][/color][/i][/size]
Equazione della retta passante per l'origine degli assi
[b][color=#3c78d8][size=150]OSSERVA:[/size][/color] [/b][size=150]I triangoli AOK e BOH sono simili, quindi il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di A e B è costante.[br]Questa proprietà vale per tutti e soli i punti della retta OA, quindi un punto P(x[sub]P, [/sub]y[sub]P[/sub]) appartiene alla retta OA solo se [math]\frac{y_P}{x_P}=\frac{y_A}{x_A}=\frac{y_B}{x_B}[/math][br][br]Il rapporto costante [i]m[/i] si chiama [b][color=#ff0000]coefficiente angolare[/color][/b].[br][br]Perciò l'equazione della generica retta OP passante per l'origine degli assi è:[/size][br][br]
Equazione di una retta che non passa per l'origine degli assi
[size=150]Sia r una generica retta passante per l'origine e t una retta parallela ad essa passante per un punto A dell'asse y.[br][br]Fai variare il punto P su t e osserva: l'ordinata del punto P di t differisce dall'ordinata del punto P[sub]1[/sub] di r per una quantità costante pari a [math]y_A[/math].[br][br]Puoi concludere che, se l'equazione della retta r è y = mx, l'equazione della retta t è y = mx + [math]y_A[/math].[br][br][math]y_A[/math] si chiama [color=#ff0000][b]intercetta[/b][/color] e si indica con q.[br][br][color=#ff0000][b]L’equazione di una retta che non passa per l’origine degli assi[/b] [/color]è: [/size][br][br][center][size=150][b][color=#0000ff]y = mx + q[/color][/b][/size][b][color=#0000ff][/color][/b][/center]
Appartenenza di un punto alla retta
[size=150]Ricorda che l'equazione della retta è quella relazione che lega le coordinate di [b]tutti e soli [/b]i punti che appartengono ad essa e che quindi li caratterizza.[br][br]Pertanto:[br][br][i][color=#ff0000]un punto appartiene ad una retta [b]se e solo se[/b] le sue coordinate soddisfano l'equazione della retta[/color].[/i] [/size]
Quali di questi punti appartengono alla retta di equazione:[br][br][center][math]y=-\frac{2}{5}x+1[/math][/center]
In quali punti la retta di equazione[br][center]2x - 3y + 1 = 0[/center]incontra gli assi coordinati?
Per quale valore del parametro h il punto A(h+2, 3-2h) appartiene alla retta di equazione y = 2x + 3?
Posizione reciproca di due rette
[size=150][color=#ff0000]Nel piano cartesiano sono assegnate due rette:[br][br]r: ax + by + c = 0 e s: a'x + b'y + c' = 0.[br][br]Vogliamo sapere se esse sono incidenti e, in caso affermativo, determinare le coordinate del punto P di intersezione.[/color][br][br][br]Poiché il punto P deve appartenere ad entrambe le retta, le sue coordinate devono soddisfare entrambe le equazioni, cioè devono essere soluzione del sistema:[br][center][math]\begin{cases}ax+by+c=0\\ \\a'x+b'y+c'=0\end{cases}[/math][/center][/size][size=150]Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer, dopo averlo scritto in forma normale:[br][center][math]\begin{cases}ax+by=-c\\ \\a'x+b'y=-c'\end{cases}[/math][/center][/size][size=150]osserviamo che esso è determinato, e quindi ammette una sola soluzione, se e solo se il determinante dei coefficienti delle incognite:[br][center][math]\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}=ab'-a'b\ne0[/math][/center]oppure:[br][center][math]\frac{a}{a'}\ne\frac{b}{b'}[/math][/center][/size]In questo caso le rette sono incidenti e il punto P, intersezione tra r ed s, avrà per coordinate le soluzioni del sistema:[br][center][math]x=\frac{\begin{vmatrix} -c & b \\ -c' & b' \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}}=\frac{bc'-b'c}{ab'-a'b}[/math][/center][center][math]y=\frac{\begin{vmatrix} a & -c \\ a' & -c' \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}}=\frac{a'c-ac'}{ab'-a'b}[/math][/center]Se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, il sistema può essere [b]impossibile [/b](in tal caso le rette non hanno alcun punto in comune) o [b]indeterminato[/b] (in tal caso il sistema ha infinite soluzioni cioè le due rette hanno tutti i punti in comune).[br][br]Il sistema è[color=#ff0000] impossibile[/color] se:[br][center][math]\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}\ne\frac{c}{c'}[/math][/center][color=#ff0000]indeterminato[/color] se:[br][center][math]\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}[/math][/center]In questo caso infatti le due equazioni sono equivalenti e quindi rappresentano la stessa retta.[br][b]Concludendo:[/b]
Coefficiente angolare di una retta passante per due punti assegnati
[center][b][color=#ff0000][/color][/b][/center][size=150][center][b][color=#ff0000]Per due punti distinti passa una e una sola retta[/color][/b][/center]Assegnate le coordinate di due punti A e B, come è possibile individuare l'equazione di tale retta?[br][br]Cominciamo calcolando il suo coefficiente angolare.[/size]
[size=150]Tracciamo la retta t parallela ad r e passante per l'origine degli assi.[br][br][b]Osserva:[/b] due rette parallele formano angoli uguali con la direzione positiva dell'asse x.[br]Quindi i triangoli OFC e ABE, avendo tutti gli angoli congruenti, sono simili per cui hanno i lati in proporzione cioè:[br][br][math]\frac{\overline{CF}}{\overline{OF}}=\frac{\overline{BE}}{\overline{AE}}\longrightarrow\frac{y_C}{x_C}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/math] [br][br][color=#ff0000][b]Conclusione:[br][/b][/color][list][*][b]due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare cioè [color=#ff0000]m[sub]t[/sub] = m[sub]r[/sub][/color][/b][/*][*][b]il coefficiente angolare di una retta passante per due punti A e B assegnati è [/b][math]m_r=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/math][b] con [/b][math]x_A\ne x_B[/math][/*][/list][/size]
Condizione di perpendicolarità
[size=150][b][color=#ff0000]Osserva:[/color][/b][br][list=1][*]se a e b sono due rette perpendicolari tra loro e passanti per l'origine, i loro coefficienti angolari hanno sempre segno opposto[/*][*]se a: y = mx e b: y = m'x allora G(1, m ) e H(1, m' )[/*][/list][br]Ora consideriamo il triangolo rettangolo OHG. Per il 2° teorema di Euclide abbiamo che:[br][math]\overline{OF}^2=\overline{FG}\cdot \overline{FH}[/math][br]da cui[br]1 = |m|· |m'| = -m · m'[br]Quindi se due rette sono perpendicolari [color=#ff0000]m · m' = -1[/color][/size]
Distanza dell'origine da una retta assegnata
[size=150]Assegnata una retta r, vogliamo calcolare la sua [color=#ff0000]distanza dall'origina degli assi[/color], cioè la [color=#ff0000]misura del segmento OH[/color].[/size]
Osserviamo che OH non è altro che l'altezza del triangolo rettangolo AOB, individuato dalla retta r e dagli assi cartesiani.[br]Pertanto [math]\overline{OH}=\frac{2Area}{\overline{AB}}[/math][br]dove [math]Area=\frac{\overline{OB}\cdot \overline{OA}}{2}[/math][br][color=#ff0000][center]CALCOLIAMO [/center][/color][br]Se la retta r ha equazione ax + by + c = 0[br]avremo che: [math]A\left(0,-\frac{c}{b}\right),B\left(-\frac{c}{a},0\right)[/math][br][br][math]\overline{AB}=\sqrt{\left(-\frac{c}{b}\right)^2+\left(-\frac{c}{a}\right)^2}=\left|\frac{c}{ab}\right|\cdot\sqrt{a^2+b^2}[/math][br][br]per cui: [math]\overline{OH}=\frac{\left|\frac{c}{b}\cdot\frac{c}{a}\right|}{\left|\frac{c}{ab}\right|\cdot\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math][br][center][math]d_{\left(O,r\right)}=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{a^2+b^2[/math][/center][size=150][color=#ff0000]Prova tu:[br][/color][color=#0000ff]fai variare la retta agendo sui punti A e B e, applicando questa formula, calcola la sua distanza dall'origine.[/color][/size]