[center][math]k\gt0[/math][/center]
Pfeile vervielfachen
Zentrische Streckung
Gegeben sind die Originalfigur ABCD, das [b]Streckungszentrum[/b] Z sowie der Eckpunkt A' der Bildfigur. [br][br]Jeder Eckpunkt der Originalfigur wird durch eine Gerade mit dem Streckungszentrum Z verbunden.[br]Der zugehörige Bildpunkt liegt auf dieser Geraden, jede Seite der Bildfigur ist zur entsprechenden Seite der Originalfigur parallel.[br][br]Bewege A' - auch über Z hinaus.[br]Stelle fest, welche Beziehung zwischen den Pfeilen von Z zu einem Originalpunkt und von Z zu seinem Bildpunkt besteht.
Aufgabe 1
Wie wird der Bildpunkt B' konstruiert, ohne seine Koordinaten zu berechnen?
Bei der zentrischen Streckung wurden die Koordinaten der Pfeile mit einer reellen Zahl [i]r[/i] multipliziert.[br][br]Welche [i]geometrischen[/i] Beziehungen bestehen zwischen [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math], wenn [math]\vec{b}=r\cdot\vec{a}[/math]?
Aufgabe 2a
Zeige: [math]\left|a_1\right|:\left|a_2\right|=\left|b_1\right|:\left|b_2\right|[/math].
Da die Katheten der beiden rechtwinkligen Dreiecke im gleichen Verhältnis stehen, sind die beiden Dreiecke [b]ähnlich[/b].[br]Daher gilt auch: [math]\left|\vec{b}\right|=\left|r\right|\cdot\left|\vec{a}\right|[/math].[br]Da die Katheten paarweise parallel sind und die spitzen Winkel wegen der Ähnlichkeit paarweise übereinstimmen, sind die beiden Pfeile parallel.
Aufgabe 2b
Welche Bedeutung hat das Vorzeichen von [i]r[/i] für die beiden Pfeile?
Zusammenfassung:
Ist [math]\vec{b}=r\cdot\vec{a}[/math], so gilt:[br][list][*][math]\vec{b}[/math] ist zu [math]\vec{a}[/math] parallel.[br][/*][*][math]\vec{b}[/math] hat die [math]\left|r\right|[/math]-fache Länge von [math]\vec{a}[/math].[br][/*][*][math]\vec{b}[/math] hat die gleiche Orientierung wie [math]\vec{a}[/math], wenn [i]r[/i] positiv ist, und die entgegengesetzte Orientierung, wenn [i]r[/i] negativ ist.[/*][/list][list][/list]
Aufgabe 2c
Zeige, dass umgekehrt Folgendes gilt:[br]Sind [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] parallel, so gibt es eine reelle Zahl [i]r[/i] mit [math]\vec{b}=r\cdot\vec{a}[/math].
[size=150][i]Zurück zu den Eigenschaften der zentrischen Streckung:[/i][/size]
Aufgabe 3
Der Faktor [color=#cc0000][b][i]k[/i][/b][/color], mit dem man [math]\overrightarrow{ZA}[/math] multiplizieren muss, um [math]\overrightarrow{ZA'}[/math] zu erhalten, heißt [color=#cc0000][b]Streckungsfaktor[/b][/color]:[br][center][math]\overrightarrow{ZA'}=k\cdot \overrightarrow{ZA}[/math].[br][/center]Begründe:[br]a) [math]\overrightarrow{ZB'}=k\cdot \overrightarrow{ZB}[/math].[br]b) [math]\overrightarrow{A'B'}=k\cdot \overrightarrow{AB}[/math].[br][br]Skizziere dafür Z, A, A', B und B' so, dass A und A' [br](1) auf der gleichen Seite von Z,[br](2) auf verschiedenen Seiten von Z[br]liegen.
[center][math]k\lt0[/math][/center]