Welche Bedeutung haben die Zahlen, die im obigen Funktionsterm vorkommen, für das Schaubild?
Verändern Sie in obigem Applet die Parameter [i]x[/i][sub]1[/sub],[i] x[/i][sub]2[/sub] und[i] x[/i][sub]3[/sub]. Notieren Sie, was Ihnen auffällt - insbesondere, wenn zwei oder sogar alle drei Parameter denselben Wert haben.
Die Parameter bestimmen die [b]Nullstellen [/b]der Funktion [i]g[/i].[br][br]"Verschmelzen" zwei Nullstellen, dann berührt dort der Graph die x-Achse ähnlich einer [b]Parabel zweiter Ordnung[/b]. Man spricht von einer [b]doppelten Nullstelle[/b].[br][br]Fallen drei Nullstellen zusammen, nennt man diese eine [b]dreifache Nullstelle[/b]. Der Graph verhält sich dort ähnlich einer [b]Parabel dritter Ordnung[/b].
[math]h\left(x\right)=20\left(x-13\right)\left(x-17\right)\left(x-43\right)^2\left(x^2-1\right)[/math]
[math]j\left(x\right)=3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2+9\right)[/math]
[math]k\left(x\right)=-2\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+1,2\right)x-17[/math]
Zur letzten Multiple-Choice-Frage:[br]Wie man am obigen roten Graphen erkennen kann, hat die Funktion [i]k[/i] überhaupt keine Nullstelle ...[br][br]Tipp: Zuerst überprüfen, ob überhaupt die [b]Produktform[/b] vorliegt![br][br][math]f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\cdot\cdot\cdot p\left(x\right)[/math][br]mit Streckfaktor [i]a[/i], Nullstellen [i]x[/i][sub]1[/sub],[i] x[/i][sub]2[/sub][i], x[/i][sub]3[/sub] usw. und eventuell einem Polynom [i]p[/i]([i]x[/i]) ohne weitere Nullstellen.[br][br]Beispiel:[br][math]f\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-7\right)\left(x-10\right)\left(x^2+16\right)[/math][br]mit Streckfaktor 3, Nullstellen 1, -2, 7 und 10 sowie dem Polynom ([i]x[/i]²+16), das für kein [math]x\in\mathbb{R}[/math] null ist.