[br]Niech [math]l[/math] będzie prostą równoległą do wektora [math]r=[a,b,c][/math] oraz [math]\pi[/math] będzie płaszczyzną prostopadłą do wektora [math]n=[A,B,C][/math]. Wówczas wzajemne położenie prostej [math]l[/math] i płaszczyzny [math]\pi[/math] uzależnione jest od relacji między wektorami [math]r[/math] i [math]n[/math].[br]W szczególności[br][list][*][math]l\parallel \pi\ \Leftrightarrow\ r\perp n[/math],[br][/*][*][math]l\perp \pi\ \Leftrightarrow\ r\parallel n[/math].  [br][/*][/list]Ponadto jeśli prosta jest równoległa do płaszczyzny, to jest w niej zawarta albo rozłączna z płaszczyzną. Jeśli prosta nie jest równoległa do płaszczyzny, to przecina ją się w jednym punkcie. Aby wyznaczyć część wspólną prostej i płaszczyzny należy rozwiązać układ równań składający się z wszystkich równań opisujących prostą i płaszczyznę.

Niech [center][math]l:\begin{cases}x=1+ 2t\\ y=2+t,\\ z=2 - t\end{cases} \ \ t\in \mathbb{R},[/math] [math]\pi :x-y+z=-2[/math].[/center]Wówczas [b]prosta[/b] [math]l[/math] jest [b]równoległa do płaszczyzny[/b] [math]\pi [/math], ale nie jest w niej zawarta.[br][br]Rzeczywiście. Wektor [math]r=[2,1,-1][/math] jest równoległy do prostej [math]l[/math], zaś wektor [math]n=[1,-1,1][/math] jest prostopadły do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Ponieważ [math]r\circ n= 0[/math], więc [math]r\perp n[/math], co oznacza, że prosta [math]l[/math] jest równoległa do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Uzasadnij, że podana prosta nie jest zawarta w płaszczyźnie.[br]

Zastanów się jak zmodyfikować równanie prostej [math]l[/math] w powyższym aplecie tak, aby była równoległa do płaszczyzny [math]\pi [/math] i zawarta w niej.

Niech [center][math]l:\begin{cases}x=1-2t\\ y=1,\\ z=2 t\end{cases} \ \ t\in \mathbb{R},[/math] [math]\pi:x-y+3=0[/math].[/center]Wówczas [b]prosta[/b] [math]l[/math] nie jest [b]ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny[/b] [math]\pi [/math].[br][br]Rzeczywiście. Wektor [math]r=[-2,0,2][/math] jest równoległy do prostej [math]l[/math], zaś wektor [math]n=[1,-1,0][/math] jest prostopadły do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Ponieważ [math]r\circ n\ne0[/math] i [math]r\times n\ne[0,0,0][/math], więc prosta [math]l[/math] nie jest równoległa ani prostopadła do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Punkt [math]P[/math] będący punktem przecięcia prostej [math]l[/math] i płaszczyzny [math]\pi [/math] wyznaczamy rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych.[br]

Zastanów się jak zmodyfikować równanie prostej [math]l[/math] w powyższym aplecie tak, aby była prostopadła do płaszczyzny [math]\pi [/math]. Wyznacz punkt przecięcia wskazanej prostej i płaszczyzny [math]\pi [/math].