[b][size=150][color=#cc0000](A) Wie bestimmt man die Steigung des Funktionsgraphen einer linearen Funktion?[/color][/size][/b][br]Um die Frage zu klären, wie man die Steigung des Graphen einer beliebigen Funktion an einer interessierenden Stelle [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] bestimmt, ist es hilfreich, sich noch einmal bewusst zu machen, wie man die Steigung des Graphen einer linearen Funktion, das ist eine Gerade, ermittelt. [br][br][color=#0000ff][b]Hinweis:[/b][/color] Wenn man oben in der Mitte des Applets auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
[color=#0000ff][b](1)[/b][/color] Klicke im Applet oben rechts auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_1.png[/img], so dass der Funktionsterm und der Graph der Funktion[b] f(x) = [/b][math]\frac{1}{2}[/math][b] x + 1[/b] dargestellt werden.
[color=#0000ff][b](2)[/b][/color] Klicke den [b]Auswahlknopf "Zuordnung"[/b] an. Dadurch werden [color=#38761d]gestrichelte grüne Linien[/color] sichtbar, die zeigen, dass dem Wert [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] der Funktionswert [color=#0000ff][b]f(x[sub]1[/sub])[/b][/color] und dem Wert [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] der Funktionswert [color=#0000ff][b]f(x[sub]2[/sub])[/b][/color] zugeordnet ist.
[color=#0000ff][b](3)[/b][/color] Klicke jetzt den [b]Auswahlknopf "Absolute Änderung"[/b] an und mache dir klar, was genau die [color=#cc0000][b]rote Strecke[/b][/color] und [b][color=#0000ff]blaue Strecke[/color][/b] inhaltlich bedeuten.
[color=#0000ff][b](4)[/b][/color] Bewege den mit [b][color=#cc0000]x[sub]2[/sub][/color][/b] beschrifteten [color=#cc0000][b]roten Punkt[/b][/color] auf der x-Achse langsam und beobachte, was dabei passiert. Beschreibe deine Beobachtung im Textfeld.
[b][color=#0000ff](5)[/color][/b] Die Steigung einer Funktion gibt an, wie stark sich der Funktionswert verändert, wenn man den x-Wert verändert. Wie man am Funktionsgraph, der hier eine Gerade ist, erkennen kann, ist die Steigung bei einer linearen Funktion überall gleich. Begründe, warum sich beim Verändern der Lage von [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] auch die absolute [b][color=#0000ff]Änderung der Funktionswerte[/color][/b] verändert.
[b][color=#0000ff](6)[/color][/b] Klicke auf den [b]Auswahlknopf "Änderungsrate (relative Änderung)"[/b], verändere anschließend die Lage von [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate. [br]Beschreibe was dir auffällt und begründe, warum das so ist.
[b][size=150][color=#0000ff][size=100]Ergebnis[/size][/color][/size][/b][br]Bei Graphen von linearen Funktionen kann man mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen. Dazu wird der Quotient aus der Differenz (absoluten Änderung) der Funktionswerte [color=#0000ff][b]f(x[sub]2[/sub]) - f(x[sub]1[/sub])[/b][/color] und der Differenz (absoluten Änderung) der x-Werte [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub] - x[sub]1[/sub][/b][/color] gebildet. Die Änderung der Funktionswerte wird also ins Verhältnis zur Änderung der x-Werte gesetzt. Der so gebildete Differenzenquotient (die Änderungsrate), gibt die Steigung des Graphen der linearen Funktion (der Gerade) an.
[b][size=150][color=#cc0000](B) Wie bestimmt man die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle x[sub]1[/sub]?[/color][/size][/b][br]Wenn der Graph einer Funktion keine Gerade ist, dann ändert sich die Steigung. Es ist deshalb interessant zu erforschen, wie man die Steigung eines beliebigen Funktionsgraphen an einer interessierenden Stelle [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] bestimmen kann.
[color=#0000ff][b](1)[/b][/color] Klicke im Applet oben in der Mitte auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] und setze das Applet damit zurück.
[color=#0000ff][b](2)[/b][/color] Klicke im Applet oben rechts auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_2.png[/img], so dass der Funktionsterm und der Graph der Funktion[b] f(x) = [/b][math]\frac{1}{8}[/math][b] x[sup]2[/sup] + 1[/b] dargestellt werden.
[color=#0000ff][b](3)[/b][/color] Klicke den [b]Auswahlknopf "Zuordnung"[/b] an. Dadurch werden [color=#38761d][b]gestrichelte grüne Linien[/b][/color] sichtbar, die zeigen, dass dem Wert [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] der Funktionswert [color=#0000ff][b]f(x[sub]1[/sub])[/b][/color] und dem Wert [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] der Funktionswert [color=#0000ff][b]f(x[sub]2[/sub])[/b][/color] zugeordnet ist.
[b][color=#0000ff](4)[/color][/b] Klicke auf den [b]Auswahlknopf "Absolute Änderung"[/b] sowie auf den [b]Auswahlknopf "Änderungsrate (relative Änderung)"[/b], verändere anschließend die Lage von [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate. [br]Beschreibe was dir im Vergleich zur linearen Funktion aus Aufgabenkomplex [b][color=#cc0000](A)[/color][/b] auffällt und begründe, warum das so ist.
[b][color=#0000ff](5)[/color][/b] Beim angezeigten Funktionsgraph handelt es sich um keine Gerade, sondern um eine gekrümmte Kurve - als Graph einer quadratischen Funktion ist es eine Parabel. [br]Überlege dir, wie man bei einem gekrümmten Funktionsgraphen die [b]Steigung an einer Stelle[/b] [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] ablesen könnte. Halte deine Überlegungen im Textfeld fest.
[color=#0000ff][b](6)[/b][/color] Klicke den [b]Auswahlknopf "[color=#9900ff]Tangente[/color]"[/b] an. Dadurch wird die Tangente [color=#999999](also eine Gerade, die den Graph an der interessierenden Stelle berührt)[/color] an den Graphen der Funktion [b]f[/b] an der Stelle [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] eingezeichnet. Betrachte die Tangente und überlege ob und wenn ja was diese mit der Steigung des Graphen von f an der Stelle [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] zu tun hat. Notiere deine Überlegungen.
[color=#0000ff][b](7)[/b][/color] Um eine Gerade eindeutig festzulegen, benötigt man zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Bei der Tangente an den Graph der Funktion [b]f[/b] an der Stelle [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] kennen wir aber nur den Berührpunkt, der die Koordinaten ([b][color=#cc0000]x[sub]1[/sub][/color][/b], [color=#0000ff][b]f(x[sub]1[/sub])[/b][/color]) hat. [br]Mit den beiden Punkten ([b][color=#cc0000]x[sub]1[/sub][/color][/b], [color=#0000ff][b]f(x[sub]1[/sub])[/b][/color]) und ([b][color=#cc0000]x[sub]2[/sub][/color][/b], [color=#0000ff][b]f(x[sub]2[/sub])[/b][/color]) auf dem Funktionsgraph, können wir dagegen eine Gerade eindeutig bestimmen, die eine Sekante [color=#999999](also eine Gerade, die den Graph in zwei Punkten schneidet)[/color] des Graphen ist und durch den Punkt ([b][color=#cc0000]x[sub]1[/sub][/color][/b], [color=#0000ff][b]f(x[sub]1[/sub])[/b][/color]) verläuft. [br]Lass die Sekante durch Klicken auf den [b]Auswahlknopf "[color=#38761d]Sekante[/color]"[/b] anzeigen.
[color=#0000ff][b](8)[/b][/color] Ziehe am Punkt [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] auf der x-Achse und beobachte, was dabei mit der [color=#38761d][b]Sekante[/b][/color] im Vergleich zur [b][color=#9900ff]Tangente[/color][/b] durch den Punkt ([color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color], [b][color=#0000ff]f(x[sub]1[/sub])[/color][/b]) passiert. [br]Notiere deine Beobachtungen.
[color=#0000ff][b](9)[/b][/color] Schalte die Tangente durch Klicken auf den [b]Auswahlknopf "[color=#9900ff]Tangente[/color]"[/b] aus. Ziehe den Punkt [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] genau auf den Punkt [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color]. Beobachte genau was dabei passiert. [br]Notiere deine Beobachtungen und gib eine Erklärung dafür an.
[color=#0000ff][b](10)[/b][/color] Überlege auf der Grundlage deiner Beobachtungen aus Aufgabe [b][color=#0000ff](8)[/color][/b] wie man mit Hilfe der Steigung der [color=#38761d][b]Sekante[/b][/color] die Steigung der [b][color=#9900ff]Tangente[/color][/b] durch den Punkt ([color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color], [b][color=#0000ff]f(x[sub]1[/sub])[/color][/b]) annähern kann. [br]Notiere deine Überlegungen.
[color=#0000ff][b](11)[/b][/color] Bewege am Punkt [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] auf der x-Achse langsam in Richtung [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate, also der Sekantensteigung. Führe die Annäherung von [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] an [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] sowohl von rechts als auch von links durch. [br]Notiere deine Beobachtungen.
[color=#0000ff][b](12)[/b][/color] Notiere eine Vermutung für den Zahlenwert der Steigung der [b][color=#9900ff]Tangente[/color][/b] durch den Punkt ([color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color], [b][color=#0000ff]f(x[sub]1[/sub])[/color][/b]).