SEMEJANZA, de THALES A PITÁGORAS

jescber546, Nov 4, 2022

Semejanza, de Thales a Pitágoras

Table of Contents

  1. El Concepto de Semejanza
    1. Semejanza
    2. Semejanza de triángulos (criterios)
    3. Exploring Similarity
  2. Relación de semejanza en longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.
    1. Similarity and Area
    2. Razón de longitudes, áreas y volúmenes
  3. El Teorema de Thales
    1. Thales' Theorem
    2. Teorema de Thales
    3. Teorema de Thales
    4. Triángulos en posición de Thales
  4. El Teorema de Thales en triángulos rectángulos. Teoremas del cateto y de la altura.
    1. Thales' Theorem
    2. Right-Triangle Elements, Metric Relations and Pythagorean Theorem
    3. DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
    4. Teorema del Cateto
    5. teorema cateto
    6. Teorema de la Altura
  5. El Teorema de Pitágoras
    1. Demostración del teorema de Pitágoras a partir del teorema del cateto
    2. Teorema de Pitágoras (Comprobación)
    3. Converse of Pythagoras Theorem : Self Assessment

1.

El Concepto de Semejanza

Este capítulo introduce al alumnado al concepto de semejanza de objetos, especificando las condiciones que se deben cumplir para considerarse semejantes dos objetos

  • 1. Semejanza
  • 2. Semejanza de triángulos (criterios)
  • 3. Exploring Similarity

1.1.

Semejanza

El concepto de semejanza
El [b]concepto de semejanza [/b]en matemáticas está muy ligado al concepto de proporcionalidad. Dos objetos son semejantes, si tienen una proporción entre ellos. Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad:[br][br]1. Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000 es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.[br][br]2. La construcción de maquetas a escala sean: edificios, aviones, barcos entre otros; requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.[br][br]3. Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 10x15 cm. que luego es ampliada a 40x60 cm. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, es decir: las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.[br][br][b]Resumiendo:[/b] dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas.[br][br][br][br][b][br][/b]
– Javier de León Morales

1.2.

–

1.3.

–

2.

Relación de semejanza en longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.

Concepto de razón de semejanza y relación de este parámetro con la relación entre longitudes, áreas y volúmenes.

  • 1. Similarity and Area
  • 2. Razón de longitudes, áreas y volúmenes

2.1.

Similarity and Area

A quick sketch to confirm or investigate this important relationship.
– John Golden

2.2.

–

3.

El Teorema de Thales

Utilización de la semejanza de triángulos para obtener el resultado del Teorema de Thales sobre la invariancia de la relación entre lados distintos de triángulos semejantes

  • 1. Thales' Theorem
  • 2. Teorema de Thales
  • 3. Teorema de Thales
  • 4. Triángulos en posición de Thales

3.1.

Thales' Theorem

Brief historical context
[size=100][size=150][justify]His wisdom reached many territories, going all the way to Egypt. So the Egyptians then invited him to measure the height of their pyramids, a great feat for the current period, as there was no type of equipment that could easily do so. Thales was able to measure the height of the pyramid using what we know today as the Thales Theorem. In order to devise this theorem he used the shadow caused by the sun and because of this process his reputation as a great mathematician and thinker, became even greater. (source: [url=http://www.estudopratico.com.br/teorema-de-tales/#_blank]http://www.estudopratico.com.br/teorema-de-tales/[/url]) [br][br][/justify][/size][/size]
Basic Definitions
Property
Analysis 1
Check the "Show / Hide Segment Measurements" box. Do segments AB, BC and CD have the same measure? [br]
Analysis 2
Check the "Show / Hide Segment Measurements" box. Move points E, F and D so that the parallel lines are[br]equidistant from each other. Do segments AB, BC and CD have the same measure? Justify your answer (if you need help, check the "Show / Hide Triangle" box)
Other property
Analysis 3
The following structure shows the corresponding segment being divided into fewer parts. Explain what is wrong in the previous statement. [br][br][br][img]https://cdn.geogebra.org/material/KdXqo3djRozOMg58xvWqM1D5Uj0mdGN5/material-KG7NAgYu.png[/img]
Basic Concept
Analysis 4
Move points A, A', D or D' and observe the ratios. Do they change?
Thales' Theorem
Theorem Proof
A little bit of background
– Jorge Cássio

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

El Teorema de Thales en triángulos rectángulos. Teoremas del cateto y de la altura.

Aplicación del teorema de Thales al caso particular de los triángulos rectángulos. Introcucción a la trigonometría. Teoremas del Cateto y de la altura.

  • 1. Thales' Theorem
  • 2. Right-Triangle Elements, Metric Relations and Pythagorean Theorem
  • 3. DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
  • 4. Teorema del Cateto
  • 5. teorema cateto
  • 6. Teorema de la Altura

4.1.

Thales' Theorem

Thales of Miletus is often considered the first great Greek mathematician. He seems to be the beneficiary of history's first attribution: "Hey, this is Thales' theorem." See a biography at MacTutor: [url]http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Thales.html[/url][br][br]What he noticed and proved concerned a connection between right triangles and circles. What do you notice?[br][br]Why is it true?[br][br]Could you prove it's always true? Thales' proof seems to have used that the sum of the angle measures in a triangle are equal to two right angles. (What we call 180 degrees, nowadays.)
More GeoGebra at [url]mathhombre.blogspot.com[/url].
– John Golden

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

5.

El Teorema de Pitágoras

Demostración del teorema de Pitágoras a través de los teoremas del cateto y de la altura.

  • 1. Demostración del teorema de Pitágoras a partir del teorema del cateto
  • 2. Teorema de Pitágoras (Comprobación)
  • 3. Converse of Pythagoras Theorem : Self Assessment

5.1.

Demostración del teorema de Pitágoras a partir del teorema del cateto

El teorema del cateto dice que:[br][math]b^2=a·m[/math] y [math]c^2=a·n[/math] [br]siendo [math]a[/math] la hipotenusa, [math]b[/math] y [math]c[/math] los catetos y [math]m[/math] y [math]n[/math] las proyecciones ortogonales respectivas de los catetos sobre la hipotenusa.[br]Si se suman ambas expresiones se tiene que:[br][math]b^2+c^2=a·\left(m+n\right)[/math][br]pero resulta que [math]m+n=a[/math] , es decir que la suma de las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa es la propia hipotenusa, por lo que:[br][math]b^2+c^2=a·a=a^2[/math] , que es lo que se conoce como Teorema de Pitágoras, y que viene a decir que: [br][b]La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.[/b][br]Como la validez del teorema del cateto se limita a triángulos rectángulos, la validez del Teorema de Pitágoras también se limita a triángulos rectángulos.
– jescber546

5.2.

–

5.3.

–

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