Integralrechnung
Integralrechnung
Table of Contents
- Rekonstruktion
- Die Fahrt mit dem Fahrstuhl 1
- Auswertung der Fahrstuhlaufgabe 1
- Die Fahrt mit dem Fahrstuhl 2
- Auswertung der Fahrstuhlaufgabe 2
- Die Fahrt mit dem Fahrstuhl 3
- Ober- und Untersummen
- Kunstprojekt "Hamburger Brücken"
- Intuitive Herangehensweise
- Abschätzung "nach unten"
- Abschätzung "nach oben"
- Kombination der Abschätzungsmethoden
- Anwendungsaufgabe
- Von Ober- und Untersummen zur Stammfunktion
- von diskreten zu stetigen Flächen
- Das Integral
- Erkunden des neuen Funktionsgraphens
- Die Stammfunktion
- Die Konstante C
- Auswertung: Die Konstante C
- Funktionsgraphen zuordnen
- Mit der Stammfunktion rechnen
- Die Stammfunktion aufstellen 1
- Die Stammfunktion aufstellen 2
- Übung: Stammfunktion und Integrale mit dem GTR
- handschriftliche Integralberechnung von 0 bis ...
- Hauptsatz der Differential und Integralrechnung 1
- Hauptsatz der Differential und Integralrechnung 2
- handschriftliche Integralberechnung in einem Intervall
- Integral vs. Flächeninhalt
- Verbessertes Gezeitenkraftwerkmodell
- Auswertung: Das verbesserte Gezeitenkraftwerkmodell
- Übungsaufgaben
- Fläche zwischen zwei Funktionen
- Das Problem erkunden und verstehen
- Auswertung der Einstiegsaufgabe
- von der Differenz zweier Funktionen zur Differenzfunktion
- Lageabhängigkeit der Funktionen
- Übungsaufgaben
- Anwendungsaufgabe
- Mittelwerte
- Das gewichtete Mittel zweier konstanter Abschnitte
- Auswertung: Das gewichtete Mittel
- Die mittlere Höhe einer Funktion
- Auswertung: Die mittlere Höhe einer Funktion
- Übungsaufgaben
Die Fahrt mit dem Fahrstuhl 1
Schau dir das Video der Fahrstuhlfahrt genau an. [br][br]Entwickle ein Modell (ein Verfahren) mit dem du mit den dir zu Verfügung stehenden Informationen aus dem Video die vom Fahrstuhl zurückgelegte Strecke bestimmen kannst. [br][br]Solltest du das Gefühl haben, nicht weiter zu kommen, kannst du unter dem Video nacheinander Hinweise aufdecken, die dir helfen könnten.
Kunstprojekt "Hamburger Brücken"
[size=150]Für ein Kunstprojekt sollen alle Seitenelemente der Hamburger Elbbrücken mit bunten Stoffen behangen werden.[/size]
[size=150][b]Aufgabe 1)[/b][br]Versuche mithilfe einer geeigneten Unterteilung abzuschätzen, wie viel Stofffläche für ein Brückenelement dieser beispielhaften Brücke benötigt wird.[/size]
von diskreten zu stetigen Flächen
In der Grafik unten kannst du folgende Objekte sehen:[br][list][*]den Graphen der Funktion f[/*][*]die Balken zur Untersumme a im Bereich von 0 bis E[/*][*]den Punkt E, dessen x-Wert den Endwert der Untersumme beschreibt[/*][*]einen Schieberegler, mit dem du die Anzahl der Balken der Untersumme verändern kannst[/*][*]den Punkt A, dessen y-Wert die Fläche der Untersumme beschreibt (liegt zu Beginn an der gleichen Stelle, wie E, sodass er kaum sichtbar ist)[/*][/list]
Untersuche die Fläche unterhalb der Funktion im Bereich von 0 bis E, indem du wie folgt vorgehst:[br][list=1][*]Verändere den Wert des Schiebereglers und beschreibe, den Effekt auf die Fläche A.[/*][*]Stelle den Schieberegler auf den Wert 10. Verschiebe den Punkt E auf der x-Achse und beschreibe, die Auswirkungen.[/*][*]Stelle den Schieberegler auf seine höchste Position und beschreibe, was dies für die Flächenberechnung bedeutet. Du kannst dafür auch in die Grafik hineinzoomen.[/*][*]Belasse den Schieberegler auf der höchsten Position, setze den Zoom zurück und deaktiviere die Ansicht der Balken.[/*][*]Verschiebe nun den Punkt E auf der x-Achse und beobachte, welchen Einfluss das auf die Höhe vom Punkt A hat.[/*][*]Aktiviere die Spurpunkte vom Punkt A. Verschiebe erneut den Punkt E entlang der x-Achse. Beschreibe den Verlauf der Spurpunkte.[/*][*]Aktiviere das Spurpolynom und beschreibe, in welchem Verhältnis das Spurpolynom und die Funktion f zueinander stehen.[/*][/list]
[b]Aufgabe: [/b][br]Notiere deine Beobachtungen.
Die Stammfunktion aufstellen 1
[b]Aufgabe 1) [/b][br][br][b]Betrachte die gegebenen Funktionsgleichungen und ihre Stammfunktionsgleichungen. Stelle eine Regel auf, wie man rechnerisch von der Funktionsgleichung zur Stammfunktionsgleichung gelangt. [/b][br][br](Es ist nicht notwendig, eine Formel aufzuschreiben. Wenn du eine sprachliche Anleitung notierst, ist das auch in Ordnung.)[br][br]Solltest du Schwierigkeiten bei der Formulierung haben, schau dir unten nacheinander die Hinweise an.[br][br]a) [math]f\left(x\right)=x^2-x-2[/math][br] [math]F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+C[/math][br][br]b) [math]g\left(x\right)=x^2+6x+9[/math] [br] [math]G\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x+C[/math][br][br]c) [math]h\left(x\right)=3x-4,5[/math][br] [math]H\left(x\right)=\frac{3}{2}x^2-4,5x+C[/math][br][br]d) [math]i\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{13}{2}x+6[/math][br] [math]I\left(x\right)=-\frac{1}{8}x^4+\frac{13}{4}x^2+6x+C[/math][br][br]e) [math]j\left(x\right)=-x^4+7x^2+6x[/math][br] [math]J\left(x\right)=-\frac{1}{5}x^5+\frac{7}{3}x^3-3x^2+C[/math]
Verbessertes Gezeitenkraftwerkmodell
Im ersten Kapitel hast du in einer Aufgabe den Wasserdurchsatz eines Gezeitenkraftwerks berechnet. Damals haben wir für das ein und ausströmende Wasser einen linearen Anstieg und Abfall angenommen. In der Natur ist ein solch linearer Anstieg natürlich nicht realistisch. Dieses Modell wollen wir also nun verbessern, indem wir eine allmähliche Veränderung der Strömungswerte annehmen. Hierfür sei der Zusammenhang über folgende Funktion dritten Grades approximiert:[br][br][math]h\left(x\right)=\frac{3}{25}x^3-\frac{54}{25}x^2+\frac{216}{25}x[/math]
[b]Aufgabe:[br][/b][list=1][*]Berechne mithilfe des Integrals die Wassermenge, die durch das Gezeitenkraftwerk zwischen t=0 und t=12 geströmt ist.[/*][*]Vergleiche deine neue Lösung mit der aus dem ersten Kapitel.[/*][/list]
Das Problem erkunden und verstehen
In den vergangenen Kapiteln hast du gelernt, wie du die Stammfunktion einsetzen kannst, um die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse zu bestimmen. Ausgangslage waren also immer die Funktionsgleichung und die x-Achse.[br][br]Dieses Konzept soll in diesem Kapitel erweitert werden, indem nicht mehr die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse betrachtet wird, sondern zwischen zwei Funktionen.[br][br][b]Aufgabe:[br][/b]Berechne die zwischen den Graphen der Funktionsgleichungen [math]f\left(x\right)=-0,6x^2+4,8x-0,2[/math] und [math]g\left(x\right)=0,7x^2-6,9x+18[/math] eingeschlossene Fläche.[br][br]Unter der Aufgabe, befinden sich Hinweise, die du dir bei Bedarf ansehen kannst.
Das gewichtete Mittel zweier konstanter Abschnitte
In diesem Kapitel lernst du, wie du die mittlere Höhe einer Funktion auf einem gegebenen Intervall bestimmen kannst.[br][br]Inhaltlich hat das Verfahren seine Ähnlichkeiten mit dem Mittelwert von einer Anzahl beliebiger Daten: [br][br][b]Aufgabe 1:[br][/b]Berechne den Mittelwert (arithmetisches Mittel) der Zahlen 8, 8, 8, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14.[br][br]Da es bei Funktionen aber keine einzelnen Zahlen gibt, sondern einen Verlauf von Zahlen, muss das Verfahren angepasst werden:[br][br][b]Aufgabe 2: [/b][br]Entwickle ein Verfahren, die mittlere Höhe der Strecken im Bereich [math]0\le x\le10[/math] zu bestimmen. Berechne die mittlere Höhe der Strecken im Bereich [math]0\le x\le10[/math].[br](Beachte, dass längere Strecken anteilig stärker in den Mittelwert einfließen müssen.)