O objetivo dessa seção é demonstrar como é feito o calculo para distância entre um ponto e um plano no espaço. Chamaremos o plano de [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAwAAAALCAYAAABLcGxfAAAAjUlEQVQoU5XRPQ4BURTF8d9EQ0UsYXqdQlR6UYiJiC1YgjXYhEKDsAwN0VmKREMmecUr5E3ebU5yc/73I6eQWUWmXwy0cMYYXbzRCfrEpB4eAweccAm6QN1bx1f8O2mDPvbYoWoCXmH9FDPMU0CJB3rYYoVBCrjig2WYfkQ7BQxxxzeYRrg1/ZCMJju4H/NcFAwMLSyjAAAAAElFTkSuQmCC[/img] e o ponto genérico de [b][color=#0000ff]A[/color][/b]. A distância entre esses dois elementos pode ser denotada também como D([img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAwAAAALCAYAAABLcGxfAAAAjUlEQVQoU5XRPQ4BURTF8d9EQ0UsYXqdQlR6UYiJiC1YgjXYhEKDsAwN0VmKREMmecUr5E3ebU5yc/73I6eQWUWmXwy0cMYYXbzRCfrEpB4eAweccAm6QN1bx1f8O2mDPvbYoWoCXmH9FDPMU0CJB3rYYoVBCrjig2WYfkQ7BQxxxzeYRrg1/ZCMJju4H/NcFAwMLSyjAAAAAElFTkSuQmCC[/img],[b][color=#0000ff]A[/color][/b]), [b]lembrando que[/b] quando nos referimos à distância sempre quer dizer a [b]menor distância [/b]entre eles.

Para começar é bom lembrar de alguns detalhes importantes:[br][br][b]1º detalhe importante: [/b]a equação cartesiana do plano é dada na forma [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?a*x+b*y+c*z+d%3D0[/img] .[br][b]Importante: [/b]os coeficientes "a","b" e "c" são as [b]coordenadas[/b] de um [b]vetor normal ao plano [/b](normal é o mesmo que perpendicular)[b].[/b] [br]Exemplo: se o plano é descrito como x-y+2z=0, o vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bn%7D[/img]=(1,-1,2) é um vetor normal à esse plano.[br][br][b]2º detalhe importante: [/b]esse vetor normal ao plano (que aparece na equação) pode ser escrito como produto vetorial de [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7DX%5Cvec%7Bv%7D[/img], sendo [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img] e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img] dois vetores quaisquer que são paralelos ao plano (de maneira informal e de fácil compreensão imagine dois vetores quaisquer que estão "contidos" no plano, esses serão os vetores [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img] e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]. [br][b]importante:[/b] os valores de [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img] e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img] não importam, porque eles só irão aparecer para finalidade de dedução, na prática você [b]não usará eles[/b])[br] [br]Observe a situação no espaço para melhor visualização:[br]Vermelho- Vetor normal [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bn%7D[/img] [br]Verde limão- Vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img][br]Laranja - Vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img][br]Ponto A- representado pelo ponto azul

Olhando para essa disposição, é possível se recordar que é parecida com o que foi feito na seção passada(distância entre retas no espaço). Para relembrar, foi construído um prisma (pelo produto misto de três vetores) e dali tiramos a distância.[br][b]Porém[/b], para poder usar tal estratégia ainda falta um vetor, que será crucial para esse estudo.[br]Considere um [b]ponto qualquer Q[/b] que [b]pertence[/b] ao plano [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAwAAAALCAYAAABLcGxfAAAAjUlEQVQoU5XRPQ4BURTF8d9EQ0UsYXqdQlR6UYiJiC1YgjXYhEKDsAwN0VmKREMmecUr5E3ebU5yc/73I6eQWUWmXwy0cMYYXbzRCfrEpB4eAweccAm6QN1bx1f8O2mDPvbYoWoCXmH9FDPMU0CJB3rYYoVBCrjig2WYfkQ7BQxxxzeYRrg1/ZCMJju4H/NcFAwMLSyjAAAAAElFTkSuQmCC[/img] e analise o vetor preto [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BQA%7D[/img] . (é [b]importante frisar [/b]que [b]VOCÊ[/b] é quem escolhe o ponto Q, ele só precisa pertencer ao plano [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAwAAAALCAYAAABLcGxfAAAAjUlEQVQoU5XRPQ4BURTF8d9EQ0UsYXqdQlR6UYiJiC1YgjXYhEKDsAwN0VmKREMmecUr5E3ebU5yc/73I6eQWUWmXwy0cMYYXbzRCfrEpB4eAweccAm6QN1bx1f8O2mDPvbYoWoCXmH9FDPMU0CJB3rYYoVBCrjig2WYfkQ7BQxxxzeYRrg1/ZCMJju4H/NcFAwMLSyjAAAAAElFTkSuQmCC[/img])

Agora sim, podemos adotar a estratégia da seção anterior de comparar o prisma formado pelos vetores [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img], [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img] e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BQA%7D[/img]. [b]Lembrando que [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bn%7D%3D%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bu%7D[/img] (produto vetorial de [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img] e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img]).[br][/b]

Assim, temos como calcular o Volume do prisma de duas maneiras: [b]Volume pelo produto misto[/b] dos três vetores e o [b]Volume [/b]pela definição algébrica de prisma (que é Área da base * Altura).[br][br][b]Importante! [/b]A altura que comentamos aqui é a [b]distância entre o ponto e o plano.[br][br][/b]Como as duas maneiras de calcular o volume são equivalentes, pois se tratam do mesmo prisma, temos como relacionar ambos.[br][b]Por produto misto: [br][/b]Volume=[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%3C%20%5Cvec%7BQA%7D%2C%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bu%7D%3E[/img][br][b]Por definição:[br][/b]Volume=Área da base * Altura[br]Lembre que a área da base é o módulo do produto vetorial de [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bu%7D[/img][br]Logo, Volume= [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bu%7D[/img] * Altura[br][b]Como ambos os volumes são iguais, temos que:[br][/b][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%3C%20%5Cvec%7BQA%7D%2C%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bu%7D%3E[/img]=[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bu%7D[/img]* Altura[br]Altura = [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%3C%20%5Cvec%7BQA%7D%2C%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bu%7D%3E%20%5Cdiv%28%20%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bu%7D%29[/img][br][br]Sabemos que[b] [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bn%7D%3D%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bu%7D[/img][/b].[b] [br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bn%7D[/img] [/b]é o Vetor [b]normal[/b](perpendicular) ao plano.[b][br][br]Então finalmente, temos que:[br][br][/b]Altura=D([img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAwAAAALCAYAAABLcGxfAAAAjUlEQVQoU5XRPQ4BURTF8d9EQ0UsYXqdQlR6UYiJiC1YgjXYhEKDsAwN0VmKREMmecUr5E3ebU5yc/73I6eQWUWmXwy0cMYYXbzRCfrEpB4eAweccAm6QN1bx1f8O2mDPvbYoWoCXmH9FDPMU0CJB3rYYoVBCrjig2WYfkQ7BQxxxzeYRrg1/ZCMJju4H/NcFAwMLSyjAAAAAElFTkSuQmCC[/img],A)=[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%3C%20%5Cvec%7BQA%7D%2C%5Cvec%7Bn%7D%3E%20%5Cdiv%28%20%5Cvec%7Bn%7D%29[/img][br]