[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/wmurbbr2][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [color=#0000ff][u][b][/b][/u][/color][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color][/url] ([color=#ff7700][i][b]21.06.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][right][size=50][i][b][br]Diese Seite ist auch ein Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebrabooks[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700]29.09.2020[/color][/b][/i])[/size][/right]

[size=85][b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teilige Schnitte der [b][i][color=#980000]Möbiuskugel[/color][/i][/b] mit einer anderen [b][i][color=#ff7700]Quadrik[/color][/i][/b] besitzen [b][color=#cc0000]4[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonale[/color][/i][/b] [b][i][color=#b45f06]Symmetriekreise[/color][/i][/b].[br]Mit einer geeigneten [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] kann man erreichen, dass die Koordinatenebenen [b][i][color=#b45f06]Symmetrie-Ebenen[/color][/i][/b] sind,[br]und dass die [b][i][color=#85200c]Quadrik[/color][/i][/b] - in diesem Fall ein [b][i][color=#85200c]elliptischer Zylinder[/color][/i][/b] - den [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] in der [math]xy[/math]-Ebene nicht schneidet.[br][b][i][color=#274e13]Stereographische Projektion[/color][/i][/b] ergibt eine [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] mit der angegebenen Gleichung:[br][/size][list][*][size=85][math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Hieraus lassen sich die [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b], das sind die Schnittpunkte mit den Achsen und - falls vorhanden - mit dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] [br]berechnen: zB. [math]s_x=\sqrt{A_x+\sqrt{A_x^2-1}}[/math] und [math]s_y=\sqrt{B_x+\sqrt{B_x^2-1}}[/math].[br]Vor allem sind mit dieser Gleichung die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] berechenbar (siehe [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff]die nächste Aktivität[/color][/u][/i][/b]).[br]Damit läßt sich überprüfen, dass die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] durch die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind,[br]und somit [b][i][color=#ff00ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] der zugehörigen [b][i][color=#9900ff]elliptischen Funktion.[/color][/i][/b][br][br]Eine Parameterdarstellung der [b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teiligen [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b] ergibt sich aus den Projektionen:[br]senkrecht in die [math]xy[/math]-Ebene projiziert (Schnitt des [b][i][color=#b45f06]Zylinders[/color][/i][/b] mit der Ebene): [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b] [math]u\mapsto a\cdot \mathbf{cos}\left(u\right)+i\cdot \mathbf{sin}\left(u\right)[/math],[br]mit [math]a=\frac{2\cdot s_x}{s_x^2+1}[/math] und [math]b=\frac{2\cdot s_y}{s_y^2+1}[/math]. Die Schnittkurve mit der [b][i][color=#85200c]Einheitskugel[/color][/i][/b] [b][i][color=#274e13]stereographisch[/color][/i][/b] in die komplexe Ebene projiziert, [br]ergibt [math]\mathbf{bizQu}\left(u\right)=\frac{1}{1\pm\sqrt{1-a^2\cdot \mathbf{cos}^2\left(u\right)-b^2\cdot \mathbf{sin}^2\left(u\right)}}\cdot\left(a\cdot \mathbf{cos}\left(u\right)+i\cdot b\cdot \mathbf{sin}\left(u\right)\right)[/math].[br]Ein Nachweis, dass es sich um [b][i][color=#ff00ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] der zugehörigen [b][i][color=#9900ff]elliptischen Funktion[/color][/i][/b] handelt, scheitert [br]an den aufwändigen Rechnungen. [/size]