Sin pérdida de generalidad, puede representarse una de ellas como [color=#0000ff]λ:y=x²[/color], la exterior con parámetro [color=#0000ff][b]½[/b][/color], recordando que todas las parábolas tienen la misma forma. Si la otra tiene de ecuación [color=#ff7700][b]μ:y=px²+q[/b][/color], para que la distancia mínima entre ellas se mayor que cero debe ser [color=#ff7700][b]p>1[/b][/color] y [color=#ff7700][b]q> 0[/b][/color], siendo [color=#ff7700][b]1/2p[/b][/color] el parámetro de [color=#ff7700][b]μ[/b][/color] y [color=#ff7700][b]q[/b][/color] la distancia entre los vértices.

La [color=#ff0000][b]gráfica roja[/b][/color] presenta la [color=#ff0000][b]mínima distancia d[/b][/color] del punto [color=#0000ff][b]A[/b][/color], en la parábola [color=#0000ff][b]λ[/b][/color], a la parábola [color=#ff7700][b]μ[/b][/color], lo que ocurre en el punto [color=#ff7700][b]B[/b][/color], en la recta normal por [color=#0000ff][b]A[/b][/color] a [color=#ff7700][b]μ[/b][/color]. Pero en general, el punto más próximo de[b][b][color=#0000ff]λ[/color][/b][/b] a [color=#ff7700][b]B[/b][/color] no será [color=#0000ff][b]A[/b][/color]. Cuando esto ocurra, las normales a ambas parábolas en [color=#0000ff][b]A[/b][/color] y [color=#ff7700][b]B[/b][/color] serán coincidentes. Para determinar [color=#0000ff][b]A[/b][/color] y [color=#ff7700][b]B[/b][/color] y la distancia mínima [color=#ff0000][b]d[/b][/color] entre ellas, basta entonces escribir las ecuaciones de sus normales en puntos [b][color=#0000ff]A[/color][/b] y [color=#ff7700][b]B[/b][/color] genéricos en forma explícita e igualar sus pendientes y abscisas en el origen.[br][br]Esto siempre ocurre para los vértices de las parábolas. Además hay otros dos, simétricamente dispuestos respecto al eje común, solo si [color=#ff0000][b]q>(p-1)/2p[/b][/color]. En este caso la distancia mínima se da en estos puntos, mientras que en los vértices hay un máximo local. [br][br]Si por el contrario es [color=#ff0000][b]q ≤ (p-1)/2p[/b][/color], la distancia mínima se produce entre los vértices.[br][br]Esta distancia mínima [color=#ff0000][b]d[/b][/color] coincide con el máximo diámetro de una circunferencia que puede desplazarse entre ambas