[br]Niech [math]f[/math] będzie funkcją określoną na zbiorze [math]D\subset\mathbb{R}^2[/math] i posiadającą pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Macierz [math]H[/math] określoną wzorem [center][math]H(x,y)=\left[ \begin{matrix}f''\!\!\!_{xx} (x,y) & f''\!\!\!_{xy} (x,y) \\f''\!\!\!_{yx} (x,y) & f''\!\!\!_{yy} (x,y)\end{matrix}\right][/math] dla [math](x,y)\in D[/math][/center]nazywamy [color=#980000][b]hesjanem[/b][/color] (lub [color=#980000][b]macierzą Hessego[/b][/color]) funkcji [math]f[/math]. [br]Przypomnijmy twierdzenie zwane [b][color=#980000]warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum lokalnego[/color][/b]: Jeśli [math]f[/math] ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu [math]P_0\in D[/math] oraz[br][list][*] [math]f'\!\!_x (P_0)=0[/math], [math]f^\prime\!\! _y (P_0)=0[/math],[br][/*][*] [math]\det (H(P_0 ))>0[/math], [br][/*][/list]to funkcja [math]f[/math] posiada ekstremum lokalne właściwe w punkcie [math]P_0[/math], przy czym jest to maksimum lokalne, gdy [math]f''\!\!\!_{xx}(P_0)<0[/math] i minimum lokalne, gdy [math]f''\!\!\!_{xx} (P_0)>0[/math]. Gdy [math]\det (H(P_0 ))<0 [/math] funkcja [math]f[/math] nie ma ekstremum lokalnego w punkcie [math]P_0[/math]. [br][br][table][tr][td][color=#980000][b][size=200]! [/size][/b][/color][/td][td][size=85]W przypadku, gdy [math]\scriptstyle \det (H(P_0 ))=0 [/math] mówimy, że warunek wystarczający nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum lokalnego funkcji [math]\scriptstyle f[/math] w punkcie [math]\scriptstyle P_0[/math]. Oznacza to, iż funkcja [math]\scriptstyle f[/math] może mieć w tym punkcie ekstremum lokalne, ale nie musi (patrz przykład 3.3). [/size] [/td][/tr][/table][br]Dalej dla ustalonego punktu [math]P_0[/math] będziemy stosować następujące oznaczenia: [br][center][math]w_1=f''\!\!\!_{xx}(P_0)[/math], [math]w_2=\det (H(P_0 ))[/math].[/center][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon] [br][i][color=#666666]Aby sprawdzić za pomocą GeoGebry, czy funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie stacjonarnym [math]P_0[/math], postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją:[br]1. W Widoku CAS wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji [math]f[/math] korzystając z polecenia [b]Pochodna[/b](...).[br]2. Definiujemy macierz Hessego [math]H[/math] i wyznaczamy macierz [math]H_{P_0}=H(P_0)[/math] korzystając z polecenia [b]Podstaw[/b](...). [br]3. Obliczamy [math]w_2=\det (H_{P_0 })[/math] (korzystamy z polecenia [b]Wyznacznik[/b](...)) i [math]w_1=f''_{xx}(P_0)[/math] (lub [math]w_1=[/math][b]Element[/b][math](H_{P_0 },1,1)[/math].[br]4. Na podstawie znaków [math]w_2[/math] i [math]w_1[/math] formułujemy odpowiedź. Obliczamy [math]f(P_0)[/math], o ile istnieje ekstremum lokalne w punkcie [math]P_0[/math]. [br][/color][/i]

Stosując podaną instrukcję sprawdzimy, czy funkcja [math]f[/math] określona wzorem [center][math]f(x,y)=x^3+y^3-3xy[/math] dla [math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math][/center]posiada ekstrema lokalne w punktach stacjonarnych [math]P=(0,0)[/math] i [math]Q=(1,1)[/math] (punkty te wyznaczyliśmy w przykładzie 9). [br][br][u]Rozwiązanie:[/u]

Ponieważ dla punktu [math]P[/math] wyznacznik [math]w_2<0[/math], więc funkcja [math]f[/math] nie ma ekstremum lokalnego w tym punkcie.

Dla punktu [math]Q[/math] wyznacznik [math]w_2>0[/math], zatem funkcja [math]f[/math] ma ekstremum lokalne w tym punkcie. Ponadto ponieważ [math]w_1>0[/math], więc jest to minimum lokalne.[br][br]Ostatecznie stwierdzamy, że badana funkcja posiada tylko jedno ekstremum lokalne i jest to minimum w punkcie [math](1,1)[/math] o wartości [math]-1[/math].